Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fzssuz 12253 |
. . . 4
⊢
(0...𝐵) ⊆
(ℤ≥‘0) |
2 | | uzssz 11583 |
. . . . 5
⊢
(ℤ≥‘0) ⊆ ℤ |
3 | | zssre 11261 |
. . . . 5
⊢ ℤ
⊆ ℝ |
4 | 2, 3 | sstri 3577 |
. . . 4
⊢
(ℤ≥‘0) ⊆ ℝ |
5 | 1, 4 | sstri 3577 |
. . 3
⊢
(0...𝐵) ⊆
ℝ |
6 | 5 | a1i 11 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
→ (0...𝐵) ⊆
ℝ) |
7 | | ovex 6577 |
. . 3
⊢
(0...(𝐵 − 1))
∈ V |
8 | 7 | a1i 11 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
→ (0...(𝐵 − 1))
∈ V) |
9 | | nnm1nn0 11211 |
. . . . 5
⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈
ℕ0) |
10 | 9 | adantl 481 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
→ (𝐵 − 1) ∈
ℕ0) |
11 | | nn0uz 11598 |
. . . 4
⊢
ℕ0 = (ℤ≥‘0) |
12 | 10, 11 | syl6eleq 2698 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
→ (𝐵 − 1) ∈
(ℤ≥‘0)) |
13 | | nnz 11276 |
. . . 4
⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈
ℤ) |
14 | 13 | adantl 481 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
→ 𝐵 ∈
ℤ) |
15 | | nnre 10904 |
. . . . 5
⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈
ℝ) |
16 | 15 | adantl 481 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
→ 𝐵 ∈
ℝ) |
17 | 16 | ltm1d 10835 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
→ (𝐵 − 1) <
𝐵) |
18 | | fzsdom2 13075 |
. . 3
⊢ ((((𝐵 − 1) ∈
(ℤ≥‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 − 1) < 𝐵) → (0...(𝐵 − 1)) ≺ (0...𝐵)) |
19 | 12, 14, 17, 18 | syl21anc 1317 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
→ (0...(𝐵 − 1))
≺ (0...𝐵)) |
20 | 15 | ad2antlr 759 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ) |
21 | | rpre 11715 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℝ+
→ 𝐴 ∈
ℝ) |
22 | 21 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ) |
23 | | elfzelz 12213 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐵) → 𝑎 ∈ ℤ) |
24 | 23 | zred 11358 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ) |
25 | 24 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 𝑎 ∈ ℝ) |
26 | 22, 25 | remulcld 9949 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ) |
27 | | 1rp 11712 |
. . . . . . 7
⊢ 1 ∈
ℝ+ |
28 | | modcl 12534 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ+) → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) ∈ ℝ) |
29 | 26, 27, 28 | sylancl 693 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) ∈ ℝ) |
30 | 20, 29 | remulcld 9949 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) ∈ ℝ) |
31 | 30 | flcld 12461 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈ ℤ) |
32 | 20 | recnd 9947 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ) |
33 | 32 | mul01d 10114 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · 0) = 0) |
34 | | modge0 12540 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) |
35 | 26, 27, 34 | sylancl 693 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) |
36 | | 0red 9920 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 0 ∈
ℝ) |
37 | | nngt0 10926 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 <
𝐵) |
38 | 37 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 0 < 𝐵) |
39 | | lemul2 10755 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ ((𝐴
· 𝑎) mod 1) ∈
ℝ ∧ (𝐵 ∈
ℝ ∧ 0 < 𝐵))
→ (0 ≤ ((𝐴 ·
𝑎) mod 1) ↔ (𝐵 · 0) ≤ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)))) |
40 | 36, 29, 20, 38, 39 | syl112anc 1322 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (0 ≤ ((𝐴 · 𝑎) mod 1) ↔ (𝐵 · 0) ≤ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)))) |
41 | 35, 40 | mpbid 221 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · 0) ≤ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) |
42 | 33, 41 | eqbrtrrd 4607 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 0 ≤ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) |
43 | 36, 30 | lenltd 10062 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (0 ≤ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) ↔ ¬ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < 0)) |
44 | 42, 43 | mpbid 221 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → ¬ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < 0) |
45 | | 0z 11265 |
. . . . . . 7
⊢ 0 ∈
ℤ |
46 | | fllt 12469 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈
ℤ) → ((𝐵
· ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < 0 ↔
(⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑎) mod 1))) <
0)) |
47 | 30, 45, 46 | sylancl 693 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < 0 ↔ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) < 0)) |
48 | 44, 47 | mtbid 313 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → ¬
(⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑎) mod 1))) <
0) |
49 | 31 | zred 11358 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈ ℝ) |
50 | 36, 49 | lenltd 10062 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (0 ≤
(⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ↔ ¬
(⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑎) mod 1))) <
0)) |
51 | 48, 50 | mpbird 246 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 0 ≤
(⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑎) mod 1)))) |
52 | | elnn0z 11267 |
. . . 4
⊢
((⌊‘(𝐵
· ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈
ℕ0 ↔ ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤
(⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑎) mod 1))))) |
53 | 31, 51, 52 | sylanbrc 695 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈
ℕ0) |
54 | 9 | ad2antlr 759 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 − 1) ∈
ℕ0) |
55 | | flle 12462 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) ∈ ℝ →
(⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ≤ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) |
56 | 30, 55 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ≤ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) |
57 | | modlt 12541 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ+) → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) < 1) |
58 | 26, 27, 57 | sylancl 693 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) < 1) |
59 | | 1red 9934 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 1 ∈
ℝ) |
60 | | ltmul2 10753 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 · 𝑎) mod 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ ∧ (𝐵 ∈
ℝ ∧ 0 < 𝐵))
→ (((𝐴 · 𝑎) mod 1) < 1 ↔ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < (𝐵 · 1))) |
61 | 29, 59, 20, 38, 60 | syl112anc 1322 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (((𝐴 · 𝑎) mod 1) < 1 ↔ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < (𝐵 · 1))) |
62 | 58, 61 | mpbid 221 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < (𝐵 · 1)) |
63 | 32 | mulid1d 9936 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · 1) = 𝐵) |
64 | 62, 63 | breqtrd 4609 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < 𝐵) |
65 | 49, 30, 20, 56, 64 | lelttrd 10074 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) < 𝐵) |
66 | | nncn 10905 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈
ℂ) |
67 | | ax-1cn 9873 |
. . . . . . 7
⊢ 1 ∈
ℂ |
68 | | npcan 10169 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) → ((𝐵 −
1) + 1) = 𝐵) |
69 | 66, 67, 68 | sylancl 693 |
. . . . . 6
⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵) |
70 | 69 | ad2antlr 759 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵) |
71 | 65, 70 | breqtrrd 4611 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) < ((𝐵 − 1) + 1)) |
72 | 13 | ad2antlr 759 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ) |
73 | | 1z 11284 |
. . . . . 6
⊢ 1 ∈
ℤ |
74 | | zsubcl 11296 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 ∈
ℤ) → (𝐵 −
1) ∈ ℤ) |
75 | 72, 73, 74 | sylancl 693 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ) |
76 | | zleltp1 11305 |
. . . . 5
⊢
(((⌊‘(𝐵
· ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈ ℤ ∧
(𝐵 − 1) ∈
ℤ) → ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ≤ (𝐵 − 1) ↔ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) < ((𝐵 − 1) + 1))) |
77 | 31, 75, 76 | syl2anc 691 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ≤ (𝐵 − 1) ↔ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) < ((𝐵 − 1) + 1))) |
78 | 71, 77 | mpbird 246 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ≤ (𝐵 − 1)) |
79 | | elfz2nn0 12300 |
. . 3
⊢
((⌊‘(𝐵
· ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈ (0...(𝐵 − 1)) ↔
((⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈
ℕ0 ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℕ0 ∧
(⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ≤ (𝐵 − 1))) |
80 | 53, 54, 78, 79 | syl3anbrc 1239 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈ (0...(𝐵 − 1))) |
81 | | oveq2 6557 |
. . . . 5
⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐴 · 𝑎) = (𝐴 · 𝑥)) |
82 | 81 | oveq1d 6564 |
. . . 4
⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) = ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) |
83 | 82 | oveq2d 6565 |
. . 3
⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) = (𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) |
84 | 83 | fveq2d 6107 |
. 2
⊢ (𝑎 = 𝑥 → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)))) |
85 | | oveq2 6557 |
. . . . 5
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑎) = (𝐴 · 𝑦)) |
86 | 85 | oveq1d 6564 |
. . . 4
⊢ (𝑎 = 𝑦 → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) = ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) |
87 | 86 | oveq2d 6565 |
. . 3
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) = (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) |
88 | 87 | fveq2d 6107 |
. 2
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) |
89 | 6, 8, 19, 80, 84, 88 | fphpdo 36399 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
→ ∃𝑥 ∈
(0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))))) |