Theorem xrnemnf 8699

Description: An extended real other than minus infinity is real or positive infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrnemnf	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))

Proof of Theorem xrnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm5.61 708	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞))
2		elxr 8696	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
3		df-3or 886	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞))
4	2, 3	bitri 173	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞))
5		df-ne 2206	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ -∞ ↔ ¬ 𝐴 = -∞)
6	4, 5	anbi12i 433	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞))
7		renemnf 7074	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
8		pnfnemnf 8697	. . . . . 6 ⊢ +∞ ≠ -∞
9		neeq1 2218	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
10	8, 9	mpbiri 157	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ -∞)
11	7, 10	jaoi 636	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
12	11	neneqd 2226	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 = -∞)
13	12	pm4.71i 371	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞))
14	1, 6, 13	3bitr4i 201	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629   ∨ w3o 884   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ≠ wne 2204  ℝcr 6888  +∞cpnf 7057  -∞cmnf 7058  ℝ^*cxr 7059

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064

This theorem is referenced by: (None)