Theorem suctr 4124

Description: The successor of a transitive class is transitive. (Contributed by Alan Sare, 11-Apr-2009.)

Assertion

Ref	Expression
suctr	⊢ (Tr A → Tr suc A)

Proof of Theorem suctr

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 103	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ y ∧ y ∈ suc A) → y ∈ suc A)
2		vex 2554	. . . . . 6 ⊢ y ∈ V
3	2	elsuc 4109	. . . . 5 ⊢ (y ∈ suc A ↔ (y ∈ A ∨ y = A))
4	1, 3	sylib 127	. . . 4 ⊢ ((z ∈ y ∧ y ∈ suc A) → (y ∈ A ∨ y = A))
5		simpl 102	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ y ∧ y ∈ suc A) → z ∈ y)
6		eleq2 2098	. . . . . . 7 ⊢ (y = A → (z ∈ y ↔ z ∈ A))
7	5, 6	syl5ibcom 144	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ y ∧ y ∈ suc A) → (y = A → z ∈ A))
8		elelsuc 4112	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ A → z ∈ suc A)
9	7, 8	syl6 29	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ y ∧ y ∈ suc A) → (y = A → z ∈ suc A))
10		trel 3852	. . . . . . . . 9 ⊢ (Tr A → ((z ∈ y ∧ y ∈ A) → z ∈ A))
11	10	expd 245	. . . . . . . 8 ⊢ (Tr A → (z ∈ y → (y ∈ A → z ∈ A)))
12	11	adantrd 264	. . . . . . 7 ⊢ (Tr A → ((z ∈ y ∧ y ∈ suc A) → (y ∈ A → z ∈ A)))
13	12, 8	syl8 65	. . . . . 6 ⊢ (Tr A → ((z ∈ y ∧ y ∈ suc A) → (y ∈ A → z ∈ suc A)))
14		jao 671	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ A → z ∈ suc A) → ((y = A → z ∈ suc A) → ((y ∈ A ∨ y = A) → z ∈ suc A)))
15	13, 14	syl6 29	. . . . 5 ⊢ (Tr A → ((z ∈ y ∧ y ∈ suc A) → ((y = A → z ∈ suc A) → ((y ∈ A ∨ y = A) → z ∈ suc A))))
16	9, 15	mpdi 38	. . . 4 ⊢ (Tr A → ((z ∈ y ∧ y ∈ suc A) → ((y ∈ A ∨ y = A) → z ∈ suc A)))
17	4, 16	mpdi 38	. . 3 ⊢ (Tr A → ((z ∈ y ∧ y ∈ suc A) → z ∈ suc A))
18	17	alrimivv 1752	. 2 ⊢ (Tr A → ∀z∀y((z ∈ y ∧ y ∈ suc A) → z ∈ suc A))
19		dftr2 3847	. 2 ⊢ (Tr suc A ↔ ∀z∀y((z ∈ y ∧ y ∈ suc A) → z ∈ suc A))
20	18, 19	sylibr 137	1 ⊢ (Tr A → Tr suc A)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∨ wo 628  ∀wal 1240   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  Tr wtr 3845  suc csuc 4068

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-sn 3373  df-uni 3572  df-tr 3846  df-suc 4074

This theorem is referenced by:  ordsucim  4192  ordom  4272