Theorem peano5set 9399

Description: Version of peano5 4264 when 𝜔 ∩ A is assumed to be a set, allowing a proof from the core axioms of CZF. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
peano5set	⊢ ((𝜔 ∩ A) ∈ 𝑉 → ((∅ ∈ A ∧ ∀x ∈ 𝜔 (x ∈ A → suc x ∈ A)) → 𝜔 ⊆ A))

Distinct variable group:   x,A

Allowed substitution hint:   𝑉(x)

Proof of Theorem peano5set

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-omind 9393	. . . . 5 ⊢ Ind 𝜔
2		bj-indind 9391	. . . . 5 ⊢ ((Ind 𝜔 ∧ (∅ ∈ A ∧ ∀x ∈ 𝜔 (x ∈ A → suc x ∈ A))) → Ind (𝜔 ∩ A))
3	1, 2	mpan 400	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ A ∧ ∀x ∈ 𝜔 (x ∈ A → suc x ∈ A)) → Ind (𝜔 ∩ A))
4		bj-omssind 9394	. . . . 5 ⊢ ((𝜔 ∩ A) ∈ 𝑉 → (Ind (𝜔 ∩ A) → 𝜔 ⊆ (𝜔 ∩ A)))
5	4	imp 115	. . . 4 ⊢ (((𝜔 ∩ A) ∈ 𝑉 ∧ Ind (𝜔 ∩ A)) → 𝜔 ⊆ (𝜔 ∩ A))
6	3, 5	sylan2 270	. . 3 ⊢ (((𝜔 ∩ A) ∈ 𝑉 ∧ (∅ ∈ A ∧ ∀x ∈ 𝜔 (x ∈ A → suc x ∈ A))) → 𝜔 ⊆ (𝜔 ∩ A))
7		inss2 3152	. . 3 ⊢ (𝜔 ∩ A) ⊆ A
8	6, 7	syl6ss 2951	. 2 ⊢ (((𝜔 ∩ A) ∈ 𝑉 ∧ (∅ ∈ A ∧ ∀x ∈ 𝜔 (x ∈ A → suc x ∈ A))) → 𝜔 ⊆ A)
9	8	ex 108	1 ⊢ ((𝜔 ∩ A) ∈ 𝑉 → ((∅ ∈ A ∧ ∀x ∈ 𝜔 (x ∈ A → suc x ∈ A)) → 𝜔 ⊆ A))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300   ∩ cin 2910   ⊆ wss 2911  ∅c0 3218  suc csuc 4068  𝜔com 4256  Ind wind 9385

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-nul 3874  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-bd0 9268  ax-bdor 9271  ax-bdex 9274  ax-bdeq 9275  ax-bdel 9276  ax-bdsb 9277  ax-bdsep 9339

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-int 3607  df-suc 4074  df-iom 4257  df-bdc 9296  df-bj-ind 9386

This theorem is referenced by:  bdpeano5  9403  speano5  9404