ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpdom3m Structured version   Unicode version

Theorem xpdom3m 6244
Description: A set is dominated by its Cartesian product with an inhabited set. Exercise 6 of [Suppes] p. 98. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
xpdom3m  V  W  ~<_  X.
Distinct variable groups:   ,   ,   , V   , W

Proof of Theorem xpdom3m
StepHypRef Expression
1 xpsneng 6232 . . . . . . 7  V  X.  { }  ~~
213adant2 922 . . . . . 6  V  W  X.  { }  ~~
32ensymd 6199 . . . . 5  V  W  ~~  X.  { }
4 xpexg 4395 . . . . . . 7  V  W  X.  _V
543adant3 923 . . . . . 6  V  W  X.  _V
6 simp3 905 . . . . . . . 8  V  W
76snssd 3500 . . . . . . 7  V  W  { }  C_
8 xpss2 4392 . . . . . . 7  { }  C_  X.  { }  C_  X.
97, 8syl 14 . . . . . 6  V  W  X.  { }  C_  X.
10 ssdomg 6194 . . . . . 6  X.  _V  X.  { }  C_  X.  X.  { }  ~<_  X.
115, 9, 10sylc 56 . . . . 5  V  W  X.  { }  ~<_  X.
12 endomtr 6206 . . . . 5  ~~  X.  { }  X.  { }  ~<_  X.  ~<_  X.
133, 11, 12syl2anc 391 . . . 4  V  W  ~<_  X.
14133expia 1105 . . 3  V  W  ~<_  X.
1514exlimdv 1697 . 2  V  W  ~<_  X.
16153impia 1100 1  V  W  ~<_  X.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   w3a 884  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551    C_ wss 2911   {csn 3367   class class class wbr 3755    X. cxp 4286    ~~ cen 6155    ~<_ cdom 6156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-er 6042  df-en 6158  df-dom 6159
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator