ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssdomg Unicode version

Theorem ssdomg 6194
Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssdomg  V  C_  ~<_

Proof of Theorem ssdomg
StepHypRef Expression
1 ssexg 3887 . . 3  C_  V  _V
2 simpr 103 . . 3  C_  V  V
3 f1oi 5107 . . . . . . . . . 10  _I  |`  : -1-1-onto->
4 dff1o3 5075 . . . . . . . . . 10  _I  |`  : -1-1-onto->  _I  |`  : -onto->  Fun  `'  _I  |`
53, 4mpbi 133 . . . . . . . . 9  _I  |`  : -onto->  Fun  `'  _I  |`
65simpli 104 . . . . . . . 8  _I  |`  : -onto->
7 fof 5049 . . . . . . . 8  _I  |`  : -onto->  _I  |`  : -->
86, 7ax-mp 7 . . . . . . 7  _I  |`  : -->
9 fss 4997 . . . . . . 7  _I  |`  : -->  C_  _I  |`  : -->
108, 9mpan 400 . . . . . 6 
C_  _I  |`  : -->
11 funi 4875 . . . . . . . 8  Fun  _I
12 cnvi 4671 . . . . . . . . 9  `'  _I  _I
1312funeqi 4865 . . . . . . . 8  Fun  `'  _I  Fun  _I
1411, 13mpbir 134 . . . . . . 7  Fun  `'  _I
15 funres11 4914 . . . . . . 7  Fun  `'  _I  Fun  `'  _I  |`
1614, 15ax-mp 7 . . . . . 6  Fun  `'  _I  |`
1710, 16jctir 296 . . . . 5 
C_  _I  |`  : -->  Fun  `'  _I  |`
18 df-f1 4850 . . . . 5  _I  |`  : -1-1->  _I  |`  : -->  Fun  `'  _I  |`
1917, 18sylibr 137 . . . 4 
C_  _I  |`  : -1-1->
2019adantr 261 . . 3  C_  V  _I  |`  : -1-1->
21 f1dom2g 6172 . . 3  _V  V  _I  |`  : -1-1->  ~<_
221, 2, 20, 21syl3anc 1134 . 2  C_  V  ~<_
2322expcom 109 1  V  C_  ~<_
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wcel 1390   _Vcvv 2551    C_ wss 2911   class class class wbr 3755    _I cid 4016   `'ccnv 4287    |` cres 4290   Fun wfun 4839   -->wf 4841   -1-1->wf1 4842   -onto->wfo 4843   -1-1-onto->wf1o 4844    ~<_ cdom 6156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-dom 6159
This theorem is referenced by:  xpdom3m  6244
  Copyright terms: Public domain W3C validator