Theorem ssdomg 6258

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssdomg	|- ( B e. V -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )

Proof of Theorem ssdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 3896	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A e. _V )
2		simpr 103	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> B e. V )
3		f1oi 5164	. . . . . . . . . 10 |- ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A
4		dff1o3 5132	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A <-> ( ( _I |` A ) : A -onto-> A /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
5	3, 4	mpbi 133	. . . . . . . . 9 |- ( ( _I |` A ) : A -onto-> A /\ Fun `' ( _I |` A ) )
6	5	simpli 104	. . . . . . . 8 |- ( _I |` A ) : A -onto-> A
7		fof 5106	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` A ) : A -onto-> A -> ( _I |` A ) : A --> A )
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ( _I |` A ) : A --> A
9		fss 5054	. . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` A ) : A --> A /\ A C_ B ) -> ( _I |` A ) : A --> B )
10	8, 9	mpan 400	. . . . . 6 |- ( A C_ B -> ( _I |` A ) : A --> B )
11		funi 4932	. . . . . . . 8 |- Fun _I
12		cnvi 4728	. . . . . . . . 9 |- `' _I = _I
13	12	funeqi 4922	. . . . . . . 8 |- ( Fun `' _I <-> Fun _I )
14	11, 13	mpbir 134	. . . . . . 7 |- Fun `' _I
15		funres11 4971	. . . . . . 7 |- ( Fun `' _I -> Fun `' ( _I |` A ) )
16	14, 15	ax-mp 7	. . . . . 6 |- Fun `' ( _I |` A )
17	10, 16	jctir 296	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ( ( _I |` A ) : A --> B /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
18		df-f1 4907	. . . . 5 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-> B <-> ( ( _I |` A ) : A --> B /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
19	17, 18	sylibr 137	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( _I |` A ) : A -1-1-> B )
20	19	adantr 261	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> ( _I |` A ) : A -1-1-> B )
21		f1dom2g 6236	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. V /\ ( _I |` A ) : A -1-1-> B ) -> A ~<_ B )
22	1, 2, 20, 21	syl3anc 1135	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A ~<_ B )
23	22	expcom 109	1 |- ( B e. V -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   C_ wss 2917   class class class wbr 3764   _I cid 4025   `'ccnv 4344   |` cres 4347   Fun wfun 4896   -->wf 4898   -1-1->wf1 4899   -onto->wfo 4900   -1-1-onto->wf1o 4901   ~<_ cdom 6220

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-dom 6223

This theorem is referenced by:  xpdom3m  6308  phplem4dom  6324  nndomo  6326  phpm  6327