Theorem reusv3 4192

Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression C ( y ). See reusv1 4190 for the connection to uniqueness. (Contributed by NM, 27-Dec-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
reusv3.1	|- ( y = z -> ( ph <-> ps ) )
reusv3.2	|- ( y = z -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
reusv3	|- ( E. y e. B ( ph /\ C e. A ) -> ( A. y e. B A. z e. B ( ( ph /\ ps ) -> C = D ) <-> E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, C, z   x, D, y   ph, x, z   ps, x, y   x, A, y, z

Allowed substitution hints:   ph( y)   ps( z)   C( y)   D( z)

Proof of Theorem reusv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reusv3.1	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ph <-> ps ) )
2		reusv3.2	. . . . . 6 |- ( y = z -> C = D )
3	2	eleq1d 2106	. . . . 5 |- ( y = z -> ( C e. A <-> D e. A ) )
4	1, 3	anbi12d 442	. . . 4 |- ( y = z -> ( ( ph /\ C e. A ) <-> ( ps /\ D e. A ) ) )
5	4	cbvrexv 2534	. . 3 |- ( E. y e. B ( ph /\ C e. A ) <-> E. z e. B ( ps /\ D e. A ) )
6		nfra2xy 2364	. . . . 5 |- F/ z A. y e. B A. z e. B ( ( ph /\ ps ) -> C = D )
7		nfv 1421	. . . . 5 |- F/ z E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C )
8	6, 7	nfim 1464	. . . 4 |- F/ z ( A. y e. B A. z e. B ( ( ph /\ ps ) -> C = D ) -> E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) )
9		risset 2352	. . . . . 6 |- ( D e. A <-> E. x e. A x = D )
10		ralcom 2473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y e. B A. z e. B ( ( ph /\ ps ) -> C = D ) <-> A. z e. B A. y e. B ( ( ph /\ ps ) -> C = D ) )
11		impexp 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ps ) -> C = D ) <-> ( ph -> ( ps -> C = D ) ) )
12		bi2.04 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph -> ( ps -> C = D ) ) <-> ( ps -> ( ph -> C = D ) ) )
13	11, 12	bitri 173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ps ) -> C = D ) <-> ( ps -> ( ph -> C = D ) ) )
14	13	ralbii 2330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. B ( ( ph /\ ps ) -> C = D ) <-> A. y e. B ( ps -> ( ph -> C = D ) ) )
15		r19.21v 2396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. B ( ps -> ( ph -> C = D ) ) <-> ( ps -> A. y e. B ( ph -> C = D ) ) )
16	14, 15	bitri 173	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. y e. B ( ( ph /\ ps ) -> C = D ) <-> ( ps -> A. y e. B ( ph -> C = D ) ) )
17	16	ralbii 2330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. z e. B A. y e. B ( ( ph /\ ps ) -> C = D ) <-> A. z e. B ( ps -> A. y e. B ( ph -> C = D ) ) )
18	10, 17	bitri 173	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. B A. z e. B ( ( ph /\ ps ) -> C = D ) <-> A. z e. B ( ps -> A. y e. B ( ph -> C = D ) ) )
19		rsp 2369	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. B ( ps -> A. y e. B ( ph -> C = D ) ) -> ( z e. B -> ( ps -> A. y e. B ( ph -> C = D ) ) ) )
20	18, 19	sylbi 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. B A. z e. B ( ( ph /\ ps ) -> C = D ) -> ( z e. B -> ( ps -> A. y e. B ( ph -> C = D ) ) ) )
21	20	com3l 75	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. B -> ( ps -> ( A. y e. B A. z e. B ( ( ph /\ ps ) -> C = D ) -> A. y e. B ( ph -> C = D ) ) ) )
22	21	imp31 243	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. B /\ ps ) /\ A. y e. B A. z e. B ( ( ph /\ ps ) -> C = D ) ) -> A. y e. B ( ph -> C = D ) )
23		eqeq1 2046	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = D -> ( x = C <-> D = C ) )
24		eqcom 2042	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( D = C <-> C = D )
25	23, 24	syl6bb 185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = D -> ( x = C <-> C = D ) )
26	25	imbi2d 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = D -> ( ( ph -> x = C ) <-> ( ph -> C = D ) ) )
27	26	ralbidv 2326	. . . . . . . . . 10 |- ( x = D -> ( A. y e. B ( ph -> x = C ) <-> A. y e. B ( ph -> C = D ) ) )
28	22, 27	syl5ibrcom 146	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. B /\ ps ) /\ A. y e. B A. z e. B ( ( ph /\ ps ) -> C = D ) ) -> ( x = D -> A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )
29	28	reximdv 2420	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. B /\ ps ) /\ A. y e. B A. z e. B ( ( ph /\ ps ) -> C = D ) ) -> ( E. x e. A x = D -> E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )
30	29	ex 108	. . . . . . 7 |- ( ( z e. B /\ ps ) -> ( A. y e. B A. z e. B ( ( ph /\ ps ) -> C = D ) -> ( E. x e. A x = D -> E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) ) )
31	30	com23 72	. . . . . 6 |- ( ( z e. B /\ ps ) -> ( E. x e. A x = D -> ( A. y e. B A. z e. B ( ( ph /\ ps ) -> C = D ) -> E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) ) )
32	9, 31	syl5bi 141	. . . . 5 |- ( ( z e. B /\ ps ) -> ( D e. A -> ( A. y e. B A. z e. B ( ( ph /\ ps ) -> C = D ) -> E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) ) )
33	32	expimpd 345	. . . 4 |- ( z e. B -> ( ( ps /\ D e. A ) -> ( A. y e. B A. z e. B ( ( ph /\ ps ) -> C = D ) -> E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) ) )
34	8, 33	rexlimi 2426	. . 3 |- ( E. z e. B ( ps /\ D e. A ) -> ( A. y e. B A. z e. B ( ( ph /\ ps ) -> C = D ) -> E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )
35	5, 34	sylbi 114	. 2 |- ( E. y e. B ( ph /\ C e. A ) -> ( A. y e. B A. z e. B ( ( ph /\ ps ) -> C = D ) -> E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )
36	1, 2	reusv3i 4191	. 2 |- ( E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) -> A. y e. B A. z e. B ( ( ph /\ ps ) -> C = D ) )
37	35, 36	impbid1 130	1 |- ( E. y e. B ( ph /\ C e. A ) -> ( A. y e. B A. z e. B ( ( ph /\ ps ) -> C = D ) <-> E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312

This theorem is referenced by: (None)