Theorem alxfr 4193

Description: Transfer universal quantification from a variable x to another variable y contained in expression A. (Contributed by NM, 18-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
alxfr.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
alxfr	|- ( ( A. y A e. B /\ A. x E. y x = A ) -> ( A. x ph <-> A. y ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, y   ps, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   A( y)   B( x, y)

Proof of Theorem alxfr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alxfr.1	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
2	1	spcgv 2640	. . . . . 6 |- ( A e. B -> ( A. x ph -> ps ) )
3	2	com12 27	. . . . 5 |- ( A. x ph -> ( A e. B -> ps ) )
4	3	alimdv 1759	. . . 4 |- ( A. x ph -> ( A. y A e. B -> A. y ps ) )
5	4	com12 27	. . 3 |- ( A. y A e. B -> ( A. x ph -> A. y ps ) )
6	5	adantr 261	. 2 |- ( ( A. y A e. B /\ A. x E. y x = A ) -> ( A. x ph -> A. y ps ) )
7		nfa1 1434	. . . . . 6 |- F/ y A. y ps
8		nfv 1421	. . . . . 6 |- F/ y ph
9		sp 1401	. . . . . . 7 |- ( A. y ps -> ps )
10	9, 1	syl5ibrcom 146	. . . . . 6 |- ( A. y ps -> ( x = A -> ph ) )
11	7, 8, 10	exlimd 1488	. . . . 5 |- ( A. y ps -> ( E. y x = A -> ph ) )
12	11	alimdv 1759	. . . 4 |- ( A. y ps -> ( A. x E. y x = A -> A. x ph ) )
13	12	com12 27	. . 3 |- ( A. x E. y x = A -> ( A. y ps -> A. x ph ) )
14	13	adantl 262	. 2 |- ( ( A. y A e. B /\ A. x E. y x = A ) -> ( A. y ps -> A. x ph ) )
15	6, 14	impbid 120	1 |- ( ( A. y A e. B /\ A. x E. y x = A ) -> ( A. x ph <-> A. y ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   A.wal 1241   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559

This theorem is referenced by: (None)