Theorem reusv1 4190

Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression C ( y ). (Contributed by NM, 16-Dec-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
reusv1	|- ( E. y e. B ph -> ( E! x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) <-> E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   ph, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( y)   B( y)   C( y)

Proof of Theorem reusv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfra1 2355	. . . 4 |- F/ y A. y e. B ( ph -> x = C )
2	1	nfmo 1920	. . 3 |- F/ y E* x A. y e. B ( ph -> x = C )
3		rsp 2369	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. B ( ph -> x = C ) -> ( y e. B -> ( ph -> x = C ) ) )
4	3	impd 242	. . . . . . 7 |- ( A. y e. B ( ph -> x = C ) -> ( ( y e. B /\ ph ) -> x = C ) )
5	4	com12 27	. . . . . 6 |- ( ( y e. B /\ ph ) -> ( A. y e. B ( ph -> x = C ) -> x = C ) )
6	5	alrimiv 1754	. . . . 5 |- ( ( y e. B /\ ph ) -> A. x ( A. y e. B ( ph -> x = C ) -> x = C ) )
7		moeq 2716	. . . . 5 |- E* x x = C
8		moim 1964	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y e. B ( ph -> x = C ) -> x = C ) -> ( E* x x = C -> E* x A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )
9	6, 7, 8	mpisyl 1335	. . . 4 |- ( ( y e. B /\ ph ) -> E* x A. y e. B ( ph -> x = C ) )
10	9	ex 108	. . 3 |- ( y e. B -> ( ph -> E* x A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )
11	2, 10	rexlimi 2426	. 2 |- ( E. y e. B ph -> E* x A. y e. B ( ph -> x = C ) )
12		mormo 2521	. 2 |- ( E* x A. y e. B ( ph -> x = C ) -> E* x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) )
13		reu5 2522	. . 3 |- ( E! x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) <-> ( E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) /\ E* x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )
14	13	rbaib 830	. 2 |- ( E* x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) -> ( E! x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) <-> E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )
15	11, 12, 14	3syl 17	1 |- ( E. y e. B ph -> ( E! x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) <-> E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   E*wmo 1901   A.wral 2306   E.wrex 2307   E!wreu 2308   E*wrmo 2309

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-v 2559

This theorem is referenced by: (None)