Theorem reu6 2730

Description: A way to express restricted uniqueness. (Contributed by NM, 20-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
reu6	|- ( E! x e. A ph <-> E. y e. A A. x e. A ( ph <-> x = y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   ph, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem reu6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-reu 2313	. 2 |- ( E! x e. A ph <-> E! x ( x e. A /\ ph ) )
2		19.28v 1780	. . . . 5 |- ( A. x ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) <-> ( y e. A /\ A. x ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) )
3		eleq1 2100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
4		sbequ12 1654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ph <-> [ y / x ] ph ) )
5	3, 4	anbi12d 442	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( x e. A /\ ph ) <-> ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) ) )
6		equequ1 1598	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x = y <-> y = y ) )
7	5, 6	bibi12d 224	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) <-> ( ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) <-> y = y ) ) )
8		equid 1589	. . . . . . . . . . . 12 |- y = y
9	8	tbt 236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) <-> ( ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) <-> y = y ) )
10		simpl 102	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) -> y e. A )
11	9, 10	sylbir 125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) <-> y = y ) -> y e. A )
12	7, 11	syl6bi 152	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) -> y e. A ) )
13	12	spimv 1692	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) -> y e. A )
14		bi1 111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) -> ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) )
15	14	expdimp 246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) /\ x e. A ) -> ( ph -> x = y ) )
16		bi2 121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) -> ( x = y -> ( x e. A /\ ph ) ) )
17		simpr 103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ ph ) -> ph )
18	16, 17	syl6 29	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) -> ( x = y -> ph ) )
19	18	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) /\ x e. A ) -> ( x = y -> ph ) )
20	15, 19	impbid 120	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) /\ x e. A ) -> ( ph <-> x = y ) )
21	20	ex 108	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) -> ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) )
22	21	sps 1430	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) -> ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) )
23	13, 22	jca 290	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) -> ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) )
24	23	a5i 1435	. . . . . 6 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) -> A. x ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) )
25		bi1 111	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph <-> x = y ) -> ( ph -> x = y ) )
26	25	imim2i 12	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) -> ( x e. A -> ( ph -> x = y ) ) )
27	26	impd 242	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) -> ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) )
28	27	adantl 262	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) -> ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) )
29		eleq1a 2109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. A -> ( x = y -> x e. A ) )
30	29	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) -> ( x = y -> x e. A ) )
31	30	imp 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) /\ x = y ) -> x e. A )
32		bi2 121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph <-> x = y ) -> ( x = y -> ph ) )
33	32	imim2i 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) -> ( x e. A -> ( x = y -> ph ) ) )
34	33	com23 72	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) -> ( x = y -> ( x e. A -> ph ) ) )
35	34	imp 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) /\ x = y ) -> ( x e. A -> ph ) )
36	35	adantll 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) /\ x = y ) -> ( x e. A -> ph ) )
37	31, 36	jcai 294	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) /\ x = y ) -> ( x e. A /\ ph ) )
38	37	ex 108	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) -> ( x = y -> ( x e. A /\ ph ) ) )
39	28, 38	impbid 120	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) -> ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) )
40	39	alimi 1344	. . . . . 6 |- ( A. x ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) -> A. x ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) )
41	24, 40	impbii 117	. . . . 5 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) <-> A. x ( y e. A /\ ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) )
42		df-ral 2311	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( ph <-> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) )
43	42	anbi2i 430	. . . . 5 |- ( ( y e. A /\ A. x e. A ( ph <-> x = y ) ) <-> ( y e. A /\ A. x ( x e. A -> ( ph <-> x = y ) ) ) )
44	2, 41, 43	3bitr4i 201	. . . 4 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) <-> ( y e. A /\ A. x e. A ( ph <-> x = y ) ) )
45	44	exbii 1496	. . 3 |- ( E. y A. x ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) <-> E. y ( y e. A /\ A. x e. A ( ph <-> x = y ) ) )
46		df-eu 1903	. . 3 |- ( E! x ( x e. A /\ ph ) <-> E. y A. x ( ( x e. A /\ ph ) <-> x = y ) )
47		df-rex 2312	. . 3 |- ( E. y e. A A. x e. A ( ph <-> x = y ) <-> E. y ( y e. A /\ A. x e. A ( ph <-> x = y ) ) )
48	45, 46, 47	3bitr4i 201	. 2 |- ( E! x ( x e. A /\ ph ) <-> E. y e. A A. x e. A ( ph <-> x = y ) )
49	1, 48	bitri 173	1 |- ( E! x e. A ph <-> E. y e. A A. x e. A ( ph <-> x = y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   A.wal 1241   E.wex 1381   e. wcel 1393   [wsb 1645   E!weu 1900   A.wral 2306   E.wrex 2307   E!wreu 2308

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-5 1336  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313

This theorem is referenced by:  reu3  2731  reu6i  2732  reu8  2737