Theorem reu8 2737

Description: Restricted uniqueness using implicit substitution. (Contributed by NM, 24-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
rmo4.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
reu8	|- ( E! x e. A ph <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem reu8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmo4.1	. . 3 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
2	1	cbvreuv 2535	. 2 |- ( E! x e. A ph <-> E! y e. A ps )
3		reu6 2730	. 2 |- ( E! y e. A ps <-> E. x e. A A. y e. A ( ps <-> y = x ) )
4		dfbi2 368	. . . . 5 |- ( ( ps <-> y = x ) <-> ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) )
5	4	ralbii 2330	. . . 4 |- ( A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) )
6		ancom 253	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> x = y ) /\ ph ) )
7		equcom 1593	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y <-> y = x )
8	7	imbi2i 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ps -> x = y ) <-> ( ps -> y = x ) )
9	8	ralbii 2330	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A ( ps -> x = y ) <-> A. y e. A ( ps -> y = x ) )
10	9	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( ps -> x = y ) <-> A. y e. A ( ps -> y = x ) ) )
11		biimt 230	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( ph <-> ( x e. A -> ph ) ) )
12		df-ral 2311	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A ( y = x -> ps ) <-> A. y ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) )
13		bi2.04 237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) <-> ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) )
14	13	albii 1359	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) <-> A. y ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) )
15		vex 2560	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
16		eleq1 2100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
17	16, 1	imbi12d 223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( x e. A -> ph ) <-> ( y e. A -> ps ) ) )
18	17	bicomd 129	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( y e. A -> ps ) <-> ( x e. A -> ph ) ) )
19	18	equcoms 1594	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( ( y e. A -> ps ) <-> ( x e. A -> ph ) ) )
20	15, 19	ceqsalv 2584	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) <-> ( x e. A -> ph ) )
21	12, 14, 20	3bitrri 196	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A -> ph ) <-> A. y e. A ( y = x -> ps ) )
22	11, 21	syl6bb 185	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( ph <-> A. y e. A ( y = x -> ps ) ) )
23	10, 22	anbi12d 442	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( ( A. y e. A ( ps -> x = y ) /\ ph ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) ) )
24	6, 23	syl5bb 181	. . . . 5 |- ( x e. A -> ( ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) ) )
25		r19.26 2441	. . . . 5 |- ( A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) )
26	24, 25	syl6rbbr 188	. . . 4 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) <-> ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) ) )
27	5, 26	syl5bb 181	. . 3 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) ) )
28	27	rexbiia 2339	. 2 |- ( E. x e. A A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )
29	2, 3, 28	3bitri 195	1 |- ( E! x e. A ph <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   A.wal 1241   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   E!wreu 2308

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-v 2559

This theorem is referenced by: (None)