Theorem pnfnemnf 8697

Description: Plus and minus infinity are different elements of RR*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	|- +oo =/= -oo

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8692	. . . 4 |- +oo e. RR*
2		pwne 3913	. . . 4 |- ( +oo e. RR* -> ~P +oo =/= +oo )
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- ~P +oo =/= +oo
4	3	necomi 2290	. 2 |- +oo =/= ~P +oo
5		df-mnf 7063	. 2 |- -oo = ~P +oo
6	4, 5	neeqtrri 2234	1 |- +oo =/= -oo

Syntax hints:   e. wcel 1393   =/= wne 2204   ~Pcpw 3359   +oocpnf 7057   -oocmnf 7058   RR*cxr 7059

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-un 4170  ax-cnex 6975

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  8698  xrnemnf  8699  xrltnr  8701  pnfnlt  8708  nltmnf  8709  ngtmnft  8731