ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ovmpt2s Structured version   Unicode version

Theorem ovmpt2s 5566
Description: Value of a function given by the "maps to" notation, expressed using explicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ovmpt2s.3  F  C ,  D  |->  R
Assertion
Ref Expression
ovmpt2s  C  D  [_  ]_ [_  ]_ R  V  F  [_  ]_ [_  ]_ R
Distinct variable groups:   ,,   ,,   , C,   , D,
Allowed substitution hints:    R(,)    F(,)    V(,)

Proof of Theorem ovmpt2s
StepHypRef Expression
1 elex 2560 . . 3  [_  ]_ [_  ]_ R  V  [_  ]_ [_  ]_ R 
_V
2 nfcv 2175 . . . . 5  F/_
3 nfcv 2175 . . . . 5  F/_
4 nfcv 2175 . . . . 5  F/_
5 nfcsb1v 2876 . . . . . . 7  F/_ [_  ]_ R
65nfel1 2185 . . . . . 6  F/ [_  ]_ R  _V
7 ovmpt2s.3 . . . . . . . . 9  F  C ,  D  |->  R
8 nfmpt21 5513 . . . . . . . . 9  F/_  C ,  D  |->  R
97, 8nfcxfr 2172 . . . . . . . 8  F/_ F
10 nfcv 2175 . . . . . . . 8  F/_
112, 9, 10nfov 5478 . . . . . . 7  F/_ F
1211, 5nfeq 2182 . . . . . 6  F/ F  [_  ]_ R
136, 12nfim 1461 . . . . 5  F/ [_  ]_ R  _V  F  [_  ]_ R
14 nfcsb1v 2876 . . . . . . 7  F/_ [_  ]_ [_  ]_ R
1514nfel1 2185 . . . . . 6  F/
[_  ]_ [_  ]_ R  _V
16 nfmpt22 5514 . . . . . . . . 9  F/_  C ,  D  |->  R
177, 16nfcxfr 2172 . . . . . . . 8  F/_ F
183, 17, 4nfov 5478 . . . . . . 7  F/_ F
1918, 14nfeq 2182 . . . . . 6  F/ F  [_  ]_ [_  ]_ R
2015, 19nfim 1461 . . . . 5  F/ [_  ]_ [_  ]_ R  _V  F  [_  ]_ [_  ]_ R
21 csbeq1a 2854 . . . . . . 7  R  [_  ]_ R
2221eleq1d 2103 . . . . . 6  R  _V  [_  ]_ R 
_V
23 oveq1 5462 . . . . . . 7  F  F
2423, 21eqeq12d 2051 . . . . . 6  F  R  F 
[_  ]_ R
2522, 24imbi12d 223 . . . . 5  R  _V  F  R  [_  ]_ R  _V  F  [_  ]_ R
26 csbeq1a 2854 . . . . . . 7  [_  ]_ R 
[_  ]_ [_  ]_ R
2726eleq1d 2103 . . . . . 6  [_  ]_ R  _V  [_  ]_ [_  ]_ R 
_V
28 oveq2 5463 . . . . . . 7  F  F
2928, 26eqeq12d 2051 . . . . . 6  F  [_  ]_ R  F 
[_  ]_ [_  ]_ R
3027, 29imbi12d 223 . . . . 5  [_  ]_ R  _V  F  [_  ]_ R  [_  ]_ [_  ]_ R 
_V  F  [_  ]_ [_  ]_ R
317ovmpt4g 5565 . . . . . 6  C  D  R  _V  F  R
32313expia 1105 . . . . 5  C  D  R  _V  F  R
332, 3, 4, 13, 20, 25, 30, 32vtocl2gaf 2614 . . . 4  C  D  [_  ]_ [_  ]_ R  _V  F  [_  ]_ [_  ]_ R
34 csbcomg 2867 . . . . 5  C  D  [_  ]_
[_  ]_ R  [_  ]_ [_  ]_ R
3534eleq1d 2103 . . . 4  C  D  [_  ]_ [_  ]_ R  _V  [_  ]_ [_  ]_ R  _V
3634eqeq2d 2048 . . . 4  C  D  F  [_  ]_ [_  ]_ R  F 
[_  ]_ [_  ]_ R
3733, 35, 363imtr4d 192 . . 3  C  D  [_  ]_ [_  ]_ R  _V  F  [_  ]_ [_  ]_ R
381, 37syl5 28 . 2  C  D  [_  ]_ [_  ]_ R  V  F  [_  ]_ [_  ]_ R
39383impia 1100 1  C  D  [_  ]_ [_  ]_ R  V  F  [_  ]_ [_  ]_ R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390   _Vcvv 2551   [_csb 2846  (class class class)co 5455    |-> cmpt2 5457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator