Theorem otth 3979

Description: Ordered triple theorem. (Contributed by NM, 25-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
otth.1	|- A e. _V
otth.2	|- B e. _V
otth.3	|- R e. _V

Assertion

Ref	Expression
otth	|- ( <. A , B , R >. = <. C , D , S >. <-> ( A = C /\ B = D /\ R = S ) )

Proof of Theorem otth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ot 3385	. . 3 |- <. A , B , R >. = <. <. A , B >. , R >.
2		df-ot 3385	. . 3 |- <. C , D , S >. = <. <. C , D >. , S >.
3	1, 2	eqeq12i 2053	. 2 |- ( <. A , B , R >. = <. C , D , S >. <-> <. <. A , B >. , R >. = <. <. C , D >. , S >. )
4		otth.1	. . 3 |- A e. _V
5		otth.2	. . 3 |- B e. _V
6		otth.3	. . 3 |- R e. _V
7	4, 5, 6	otth2 3978	. 2 |- ( <. <. A , B >. , R >. = <. <. C , D >. , S >. <-> ( A = C /\ B = D /\ R = S ) )
8	3, 7	bitri 173	1 |- ( <. A , B , R >. = <. C , D , S >. <-> ( A = C /\ B = D /\ R = S ) )

Syntax hints:   <-> wb 98   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   <.cop 3378   <.cotp 3379

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-ot 3385

This theorem is referenced by:  euotd  3991