Theorem nsspssun 3164

Description: Negation of subclass expressed in terms of proper subclass and union. (Contributed by NM, 15-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nsspssun	|- (-. A C_ B <-> B C. (A u. B))

Proof of Theorem nsspssun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3101	. . . 4 |- B C_ (A u. B)
2	1	biantrur 287	. . 3 |- (-. (A u. B) C_ B <-> (B C_ (A u. B) /\ -. (A u. B) C_ B))
3		ssid 2958	. . . . 5 |- B C_ B
4	3	biantru 286	. . . 4 |- (A C_ B <-> (A C_ B /\ B C_ B))
5		unss 3111	. . . 4 |- ((A C_ B /\ B C_ B) <-> (A u. B) C_ B)
6	4, 5	bitri 173	. . 3 |- (A C_ B <-> (A u. B) C_ B)
7	2, 6	xchnxbir 605	. 2 |- (-. A C_ B <-> (B C_ (A u. B) /\ -. (A u. B) C_ B))
8		dfpss3 3024	. 2 |- (B C. (A u. B) <-> (B C_ (A u. B) /\ -. (A u. B) C_ B))
9	7, 8	bitr4i 176	1 |- (-. A C_ B <-> B C. (A u. B))

Syntax hints:  -. wn 3   /\ wa 97   <-> wb 98   u. cun 2909   C_ wss 2911   C. wpss 2912

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pss 2927

This theorem is referenced by:  disjpss  3272