Theorem nsspssun 3170

Description: Negation of subclass expressed in terms of proper subclass and union. (Contributed by NM, 15-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nsspssun	|- ( -. A C_ B <-> B C. ( A u. B ) )

Proof of Theorem nsspssun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3107	. . . 4 |- B C_ ( A u. B )
2	1	biantrur 287	. . 3 |- ( -. ( A u. B ) C_ B <-> ( B C_ ( A u. B ) /\ -. ( A u. B ) C_ B ) )
3		ssid 2964	. . . . 5 |- B C_ B
4	3	biantru 286	. . . 4 |- ( A C_ B <-> ( A C_ B /\ B C_ B ) )
5		unss 3117	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ B C_ B ) <-> ( A u. B ) C_ B )
6	4, 5	bitri 173	. . 3 |- ( A C_ B <-> ( A u. B ) C_ B )
7	2, 6	xchnxbir 606	. 2 |- ( -. A C_ B <-> ( B C_ ( A u. B ) /\ -. ( A u. B ) C_ B ) )
8		dfpss3 3030	. 2 |- ( B C. ( A u. B ) <-> ( B C_ ( A u. B ) /\ -. ( A u. B ) C_ B ) )
9	7, 8	bitr4i 176	1 |- ( -. A C_ B <-> B C. ( A u. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 97   <-> wb 98   u. cun 2915   C_ wss 2917   C. wpss 2918

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pss 2933

This theorem is referenced by:  disjpss  3278