ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0suc Structured version   Unicode version

Theorem nn0suc 4254
Description: A natural number is either 0 or a successor. Similar theorems for arbitrary sets or real numbers will not be provable (without the law of the excluded middle), but equality of natural numbers is decidable. (Contributed by NM, 27-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
nn0suc  om  (/)  om  suc
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem nn0suc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2028 . . 3  (/)  (/)  (/)  (/)
2 eqeq1 2028 . . . 4  (/)  suc  (/)  suc
32rexbidv 2305 . . 3  (/)  om  suc  om  (/)  suc
41, 3orbi12d 694 . 2  (/)  (/)  om  suc  (/)  (/)  om  (/)  suc
5 eqeq1 2028 . . 3  (/)  (/)
6 eqeq1 2028 . . . 4  suc 
suc
76rexbidv 2305 . . 3  om  suc  om  suc
85, 7orbi12d 694 . 2  (/)  om  suc  (/)  om  suc
9 eqeq1 2028 . . 3  suc  (/)  suc  (/)
10 eqeq1 2028 . . . 4  suc  suc  suc  suc
1110rexbidv 2305 . . 3  suc  om  suc  om  suc 
suc
129, 11orbi12d 694 . 2  suc  (/)  om  suc  suc  (/) 
om  suc  suc
13 eqeq1 2028 . . 3  (/)  (/)
14 eqeq1 2028 . . . 4  suc  suc
1514rexbidv 2305 . . 3  om  suc  om  suc
1613, 15orbi12d 694 . 2  (/)  om  suc  (/)  om  suc
17 eqid 2022 . . 3  (/)  (/)
1817orci 637 . 2  (/)  (/)  om  (/)  suc
19 eqid 2022 . . . . 5  suc  suc
20 suceq 4088 . . . . . . 7  suc  suc
2120eqeq2d 2033 . . . . . 6  suc  suc  suc  suc
2221rspcev 2633 . . . . 5  om  suc  suc 
om  suc  suc
2319, 22mpan2 403 . . . 4  om  om  suc  suc
2423olcd 640 . . 3  om  suc  (/)  om  suc  suc
2524a1d 22 . 2  om  (/)  om  suc  suc  (/)  om  suc  suc
264, 8, 12, 16, 18, 25finds 4250 1  om  (/)  om  suc
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wo 616   wceq 1228   wcel 1374  wrex 2285   (/)c0 3201   suc csuc 4051   omcom 4240
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-iinf 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-uni 3555  df-int 3590  df-suc 4057  df-iom 4241
This theorem is referenced by:  nnsuc  4265
  Copyright terms: Public domain W3C validator