Theorem mnfnre 7068

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	|- -oo e/ RR

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7005	. . . . 5 |- CC e. _V
2		2pwuninelg 5898	. . . . 5 |- ( CC e. _V -> -. ~P ~P U. CC e. CC )
3	1, 2	ax-mp 7	. . . 4 |- -. ~P ~P U. CC e. CC
4		df-mnf 7063	. . . . . 6 |- -oo = ~P +oo
5		df-pnf 7062	. . . . . . 7 |- +oo = ~P U. CC
6	5	pweqi 3363	. . . . . 6 |- ~P +oo = ~P ~P U. CC
7	4, 6	eqtri 2060	. . . . 5 |- -oo = ~P ~P U. CC
8	7	eleq1i 2103	. . . 4 |- ( -oo e. CC <-> ~P ~P U. CC e. CC )
9	3, 8	mtbir 596	. . 3 |- -. -oo e. CC
10		recn 7014	. . 3 |- ( -oo e. RR -> -oo e. CC )
11	9, 10	mto 588	. 2 |- -. -oo e. RR
12	11	nelir 2300	1 |- -oo e/ RR

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 1393   e/ wnel 2205   _Vcvv 2557   ~Pcpw 3359   U.cuni 3580   CCcc 6887   RRcr 6888   +oocpnf 7057   -oocmnf 7058

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-nel 2207  df-ral 2311  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-pnf 7062  df-mnf 7063

This theorem is referenced by:  renemnf  7074  xrltnr  8701  nltmnf  8709