Theorem pnfnre 7067

Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnre	|- +oo e/ RR

Proof of Theorem pnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7005	. . . . . 6 |- CC e. _V
2	1	uniex 4174	. . . . 5 |- U. CC e. _V
3		pwuninel2 5897	. . . . 5 |- ( U. CC e. _V -> -. ~P U. CC e. CC )
4	2, 3	ax-mp 7	. . . 4 |- -. ~P U. CC e. CC
5		df-pnf 7062	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
6	5	eleq1i 2103	. . . 4 |- ( +oo e. CC <-> ~P U. CC e. CC )
7	4, 6	mtbir 596	. . 3 |- -. +oo e. CC
8		recn 7014	. . 3 |- ( +oo e. RR -> +oo e. CC )
9	7, 8	mto 588	. 2 |- -. +oo e. RR
10	9	nelir 2300	1 |- +oo e/ RR

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 1393   e/ wnel 2205   _Vcvv 2557   ~Pcpw 3359   U.cuni 3580   CCcc 6887   RRcr 6888   +oocpnf 7057

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-un 4170  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-nel 2207  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-uni 3581  df-pnf 7062

This theorem is referenced by:  renepnf  7073  xrltnr  8701  pnfnlt  8708