Theorem mnfnre 6865

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	⊢ -∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 6803	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
2		2pwuninelg 5839	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∈ V → ¬ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ
4		df-mnf 6860	. . . . . 6 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
5		df-pnf 6859	. . . . . . 7 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
6	5	pweqi 3355	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 +∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
7	4, 6	eqtri 2057	. . . . 5 ⊢ -∞ = 𝒫 𝒫 ∪ ℂ
8	7	eleq1i 2100	. . . 4 ⊢ (-∞ ∈ ℂ ↔ 𝒫 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
9	3, 8	mtbir 595	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℂ
10		recn 6812	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ ℝ → -∞ ∈ ℂ)
11	9, 10	mto 587	. 2 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
12	11	nelir 2294	1 ⊢ -∞ ∉ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 1390   ∉ wnel 2202  Vcvv 2551  𝒫 cpw 3351  ∪ cuni 3571  ℂcc 6709  ℝcr 6710  +∞cpnf 6854  -∞cmnf 6855

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-nel 2204  df-ral 2305  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-pnf 6859  df-mnf 6860

This theorem is referenced by:  renemnf  6871  xrltnr  8471  nltmnf  8479