Theorem iunxpf 4484

Description: Indexed union on a cross product is equals a double indexed union. The hypothesis specifies an implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunxpf.1	|- F/_ y C
iunxpf.2	|- F/_ z C
iunxpf.3	|- F/_ x D
iunxpf.4	|- ( x = <. y , z >. -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
iunxpf	|- U_ x e. ( A X. B ) C = U_ y e. A U_ z e. B D

Distinct variable groups:   x, y, A   x, z, B, y

Allowed substitution hints:   A( z)   C( x, y, z)   D( x, y, z)

Proof of Theorem iunxpf

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunxpf.1	. . . . 5 |- F/_ y C
2	1	nfcri 2172	. . . 4 |- F/ y w e. C
3		iunxpf.2	. . . . 5 |- F/_ z C
4	3	nfcri 2172	. . . 4 |- F/ z w e. C
5		iunxpf.3	. . . . 5 |- F/_ x D
6	5	nfcri 2172	. . . 4 |- F/ x w e. D
7		iunxpf.4	. . . . 5 |- ( x = <. y , z >. -> C = D )
8	7	eleq2d 2107	. . . 4 |- ( x = <. y , z >. -> ( w e. C <-> w e. D ) )
9	2, 4, 6, 8	rexxpf 4483	. . 3 |- ( E. x e. ( A X. B ) w e. C <-> E. y e. A E. z e. B w e. D )
10		eliun 3661	. . 3 |- ( w e. U_ x e. ( A X. B ) C <-> E. x e. ( A X. B ) w e. C )
11		eliun 3661	. . . 4 |- ( w e. U_ y e. A U_ z e. B D <-> E. y e. A w e. U_ z e. B D )
12		eliun 3661	. . . . 5 |- ( w e. U_ z e. B D <-> E. z e. B w e. D )
13	12	rexbii 2331	. . . 4 |- ( E. y e. A w e. U_ z e. B D <-> E. y e. A E. z e. B w e. D )
14	11, 13	bitri 173	. . 3 |- ( w e. U_ y e. A U_ z e. B D <-> E. y e. A E. z e. B w e. D )
15	9, 10, 14	3bitr4i 201	. 2 |- ( w e. U_ x e. ( A X. B ) C <-> w e. U_ y e. A U_ z e. B D )
16	15	eqriv 2037	1 |- U_ x e. ( A X. B ) C = U_ y e. A U_ z e. B D

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1243   e. wcel 1393   F/_wnfc 2165   E.wrex 2307   <.cop 3378   U_ciun 3657   X. cxp 4343

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-iun 3659  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352

This theorem is referenced by:  dfmpt2  5844