Theorem genpdflem 6490

Description: Simplification of upper or lower cut expression. Lemma for genpdf 6491. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
genpdflem.r	|- ((ph /\ r e. A) -> r e. Q.)
genpdflem.s	|- ((ph /\ s e. B) -> s e. Q.)

Assertion

Ref	Expression
genpdflem	|- (ph -> { q e. Q. | E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s)) } = { q e. Q. | E. r e. A E. s e. B q = ( r G s) })

Distinct variable groups:   A, s   ph, q, r, s

Allowed substitution hints:   A( r, q)   B( s, r, q)   G( s, r, q)

Proof of Theorem genpdflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		genpdflem.r	. . . . . . . . 9 |- ((ph /\ r e. A) -> r e. Q.)
2	1	ex 108	. . . . . . . 8 |- (ph -> ( r e. A -> r e. Q.))
3	2	pm4.71rd 374	. . . . . . 7 |- (ph -> ( r e. A <-> ( r e. Q. /\ r e. A)))
4	3	anbi1d 438	. . . . . 6 |- (ph -> (( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s))) <-> (( r e. Q. /\ r e. A) /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s)))))
5	4	exbidv 1703	. . . . 5 |- (ph -> (E. r( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s))) <-> E. r(( r e. Q. /\ r e. A) /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s)))))
6		3anass 888	. . . . . . . . . 10 |- (( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s)) <-> ( r e. A /\ ( s e. B /\ q = ( r G s))))
7	6	rexbii 2325	. . . . . . . . 9 |- (E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s)) <-> E. s e. Q. ( r e. A /\ ( s e. B /\ q = ( r G s))))
8		r19.42v 2461	. . . . . . . . 9 |- (E. s e. Q. ( r e. A /\ ( s e. B /\ q = ( r G s))) <-> ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s))))
9	7, 8	bitri 173	. . . . . . . 8 |- (E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s)) <-> ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s))))
10	9	rexbii 2325	. . . . . . 7 |- (E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s)) <-> E. r e. Q. ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s))))
11		df-rex 2306	. . . . . . 7 |- (E. r e. Q. ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s))) <-> E. r( r e. Q. /\ ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s)))))
12	10, 11	bitri 173	. . . . . 6 |- (E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s)) <-> E. r( r e. Q. /\ ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s)))))
13		anass 381	. . . . . . 7 |- ((( r e. Q. /\ r e. A) /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s))) <-> ( r e. Q. /\ ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s)))))
14	13	exbii 1493	. . . . . 6 |- (E. r(( r e. Q. /\ r e. A) /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s))) <-> E. r( r e. Q. /\ ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s)))))
15	12, 14	bitr4i 176	. . . . 5 |- (E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s)) <-> E. r(( r e. Q. /\ r e. A) /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s))))
16	5, 15	syl6rbbr 188	. . . 4 |- (ph -> (E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s)) <-> E. r( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s)))))
17		df-rex 2306	. . . 4 |- (E. r e. A E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s)) <-> E. r( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s))))
18	16, 17	syl6bbr 187	. . 3 |- (ph -> (E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s)) <-> E. r e. A E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s))))
19		genpdflem.s	. . . . . . . . . 10 |- ((ph /\ s e. B) -> s e. Q.)
20	19	ex 108	. . . . . . . . 9 |- (ph -> ( s e. B -> s e. Q.))
21	20	pm4.71rd 374	. . . . . . . 8 |- (ph -> ( s e. B <-> ( s e. Q. /\ s e. B)))
22	21	anbi1d 438	. . . . . . 7 |- (ph -> (( s e. B /\ q = ( r G s)) <-> (( s e. Q. /\ s e. B) /\ q = ( r G s))))
23	22	exbidv 1703	. . . . . 6 |- (ph -> (E. s( s e. B /\ q = ( r G s)) <-> E. s(( s e. Q. /\ s e. B) /\ q = ( r G s))))
24		df-rex 2306	. . . . . . 7 |- (E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s)) <-> E. s( s e. Q. /\ ( s e. B /\ q = ( r G s))))
25		anass 381	. . . . . . . 8 |- ((( s e. Q. /\ s e. B) /\ q = ( r G s)) <-> ( s e. Q. /\ ( s e. B /\ q = ( r G s))))
26	25	exbii 1493	. . . . . . 7 |- (E. s(( s e. Q. /\ s e. B) /\ q = ( r G s)) <-> E. s( s e. Q. /\ ( s e. B /\ q = ( r G s))))
27	24, 26	bitr4i 176	. . . . . 6 |- (E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s)) <-> E. s(( s e. Q. /\ s e. B) /\ q = ( r G s)))
28	23, 27	syl6rbbr 188	. . . . 5 |- (ph -> (E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s)) <-> E. s( s e. B /\ q = ( r G s))))
29		df-rex 2306	. . . . 5 |- (E. s e. B q = ( r G s) <-> E. s( s e. B /\ q = ( r G s)))
30	28, 29	syl6bbr 187	. . . 4 |- (ph -> (E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s)) <-> E. s e. B q = ( r G s)))
31	30	rexbidv 2321	. . 3 |- (ph -> (E. r e. A E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s)) <-> E. r e. A E. s e. B q = ( r G s)))
32	18, 31	bitrd 177	. 2 |- (ph -> (E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s)) <-> E. r e. A E. s e. B q = ( r G s)))
33	32	rabbidv 2543	1 |- (ph -> { q e. Q. | E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s)) } = { q e. Q. | E. r e. A E. s e. B q = ( r G s) })

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   /\ w3a 884   = wceq 1242  E.wex 1378   e. wcel 1390  E.wrex 2301   {crab 2304  (class class class)co 5455   Q.cnq 6264

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-11 1394  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309

This theorem is referenced by:  genpdf  6491