Theorem genpdflem 6605

Description: Simplification of upper or lower cut expression. Lemma for genpdf 6606. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
genpdflem.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ Q)
genpdflem.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) → 𝑠 ∈ Q)

Assertion

Ref	Expression
genpdflem	⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ Q ∣ ∃𝑟 ∈ Q ∃𝑠 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠))} = {𝑞 ∈ Q ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐵 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝜑,𝑞,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟,𝑞)   𝐵(𝑠,𝑟,𝑞)   𝐺(𝑠,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem genpdflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		genpdflem.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ Q)
2	1	ex 108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ Q))
3	2	pm4.71rd 374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ 𝐴 ↔ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)))
4	3	anbi1d 438	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠))) ↔ ((𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)))))
5	4	exbidv 1706	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟(𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠))) ↔ ∃𝑟((𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)))))
6		3anass 889	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)) ↔ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠))))
7	6	rexbii 2331	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑠 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)) ↔ ∃𝑠 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠))))
8		r19.42v 2467	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑠 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠))) ↔ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠))))
9	7, 8	bitri 173	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑠 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)) ↔ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠))))
10	9	rexbii 2331	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑟 ∈ Q ∃𝑠 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)) ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠))))
11		df-rex 2312	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠))) ↔ ∃𝑟(𝑟 ∈ Q ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)))))
12	10, 11	bitri 173	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑟 ∈ Q ∃𝑠 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)) ↔ ∃𝑟(𝑟 ∈ Q ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)))))
13		anass 381	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠))) ↔ (𝑟 ∈ Q ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)))))
14	13	exbii 1496	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑟((𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠))) ↔ ∃𝑟(𝑟 ∈ Q ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)))))
15	12, 14	bitr4i 176	. . . . 5 ⊢ (∃𝑟 ∈ Q ∃𝑠 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)) ↔ ∃𝑟((𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠))))
16	5, 15	syl6rbbr 188	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ Q ∃𝑠 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)) ↔ ∃𝑟(𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)))))
17		df-rex 2312	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)) ↔ ∃𝑟(𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠))))
18	16, 17	syl6bbr 187	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ Q ∃𝑠 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠))))
19		genpdflem.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) → 𝑠 ∈ Q)
20	19	ex 108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐵 → 𝑠 ∈ Q))
21	20	pm4.71rd 374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐵 ↔ (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑠 ∈ 𝐵)))
22	21	anbi1d 438	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)) ↔ ((𝑠 ∈ Q ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠))))
23	22	exbidv 1706	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠(𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)) ↔ ∃𝑠((𝑠 ∈ Q ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠))))
24		df-rex 2312	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ Q ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠))))
25		anass 381	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑠 ∈ Q ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)) ↔ (𝑠 ∈ Q ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠))))
26	25	exbii 1496	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠((𝑠 ∈ Q ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ Q ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠))))
27	24, 26	bitr4i 176	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)) ↔ ∃𝑠((𝑠 ∈ Q ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)))
28	23, 27	syl6rbbr 188	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠))))
29		df-rex 2312	. . . . 5 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐵 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)))
30	28, 29	syl6bbr 187	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)))
31	30	rexbidv 2327	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐵 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)))
32	18, 31	bitrd 177	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ Q ∃𝑠 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐵 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)))
33	32	rabbidv 2549	1 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ Q ∣ ∃𝑟 ∈ Q ∃𝑠 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠))} = {𝑞 ∈ Q ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐵 𝑞 = (𝑟𝐺𝑠)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 885   = wceq 1243  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  ∃wrex 2307  {crab 2310  (class class class)co 5512  Qcnq 6378

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-11 1397  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315

This theorem is referenced by:  genpdf  6606