Theorem eusvobj2 5498

Description: Specify the same property in two ways when class B ( y ) is single-valued. (Contributed by NM, 1-Nov-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
eusvobj1.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
eusvobj2	|- ( E! x E. y e. A x = B -> ( E. y e. A x = B <-> A. y e. A x = B ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem eusvobj2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euabsn2 3439	. . 3 |- ( E! x E. y e. A x = B <-> E. z { x | E. y e. A x = B } = { z } )
2		eleq2 2101	. . . . . 6 |- ( { x | E. y e. A x = B } = { z } -> ( x e. { x | E. y e. A x = B } <-> x e. { z } ) )
3		abid 2028	. . . . . 6 |- ( x e. { x | E. y e. A x = B } <-> E. y e. A x = B )
4		velsn 3392	. . . . . 6 |- ( x e. { z } <-> x = z )
5	2, 3, 4	3bitr3g 211	. . . . 5 |- ( { x | E. y e. A x = B } = { z } -> ( E. y e. A x = B <-> x = z ) )
6		nfre1 2365	. . . . . . . . 9 |- F/ y E. y e. A x = B
7	6	nfab 2182	. . . . . . . 8 |- F/_ y { x | E. y e. A x = B }
8	7	nfeq1 2187	. . . . . . 7 |- F/ y { x | E. y e. A x = B } = { z }
9		eusvobj1.1	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
10	9	elabrex 5397	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> B e. { x | E. y e. A x = B } )
11		eleq2 2101	. . . . . . . . 9 |- ( { x | E. y e. A x = B } = { z } -> ( B e. { x | E. y e. A x = B } <-> B e. { z } ) )
12	9	elsn 3391	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. { z } <-> B = z )
13		eqcom 2042	. . . . . . . . . 10 |- ( B = z <-> z = B )
14	12, 13	bitri 173	. . . . . . . . 9 |- ( B e. { z } <-> z = B )
15	11, 14	syl6bb 185	. . . . . . . 8 |- ( { x | E. y e. A x = B } = { z } -> ( B e. { x | E. y e. A x = B } <-> z = B ) )
16	10, 15	syl5ib 143	. . . . . . 7 |- ( { x | E. y e. A x = B } = { z } -> ( y e. A -> z = B ) )
17	8, 16	ralrimi 2390	. . . . . 6 |- ( { x | E. y e. A x = B } = { z } -> A. y e. A z = B )
18		eqeq1 2046	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x = B <-> z = B ) )
19	18	ralbidv 2326	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( A. y e. A x = B <-> A. y e. A z = B ) )
20	17, 19	syl5ibrcom 146	. . . . 5 |- ( { x | E. y e. A x = B } = { z } -> ( x = z -> A. y e. A x = B ) )
21	5, 20	sylbid 139	. . . 4 |- ( { x | E. y e. A x = B } = { z } -> ( E. y e. A x = B -> A. y e. A x = B ) )
22	21	exlimiv 1489	. . 3 |- ( E. z { x | E. y e. A x = B } = { z } -> ( E. y e. A x = B -> A. y e. A x = B ) )
23	1, 22	sylbi 114	. 2 |- ( E! x E. y e. A x = B -> ( E. y e. A x = B -> A. y e. A x = B ) )
24		euex 1930	. . 3 |- ( E! x E. y e. A x = B -> E. x E. y e. A x = B )
25		rexm 3320	. . . 4 |- ( E. y e. A x = B -> E. y y e. A )
26	25	exlimiv 1489	. . 3 |- ( E. x E. y e. A x = B -> E. y y e. A )
27		r19.2m 3309	. . . 4 |- ( ( E. y y e. A /\ A. y e. A x = B ) -> E. y e. A x = B )
28	27	ex 108	. . 3 |- ( E. y y e. A -> ( A. y e. A x = B -> E. y e. A x = B ) )
29	24, 26, 28	3syl 17	. 2 |- ( E! x E. y e. A x = B -> ( A. y e. A x = B -> E. y e. A x = B ) )
30	23, 29	impbid 120	1 |- ( E! x E. y e. A x = B -> ( E. y e. A x = B <-> A. y e. A x = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 98   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   E!weu 1900   {cab 2026   A.wral 2306   E.wrex 2307   _Vcvv 2557   {csn 3375

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-sn 3381

This theorem is referenced by:  eusvobj1  5499