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Theorem en2lp 4232
Description: No class has 2-cycle membership loops. Theorem 7X(b) of [Enderton] p. 206. (Contributed by NM, 16-Oct-1996.) (Proof rewritten by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
en2lp

Proof of Theorem en2lp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2560 . . . . . . . . . . . 12  _V
2 prid2g 3466 . . . . . . . . . . . . 13  _V  { ,  }
3 eldif 2921 . . . . . . . . . . . . . . 15  _V  \  { ,  }  _V  { ,  }
4 pm3.4 316 . . . . . . . . . . . . . . 15  _V  { ,  }  _V  { ,  }
53, 4sylbi 114 . . . . . . . . . . . . . 14  _V  \  { ,  }  _V  { ,  }
65com12 27 . . . . . . . . . . . . 13  _V  _V  \  { ,  }  { ,  }
72, 6mt2d 555 . . . . . . . . . . . 12  _V  _V  \  { ,  }
81, 7syl 14 . . . . . . . . . . 11  _V  \  { ,  }
98ad2antlr 458 . . . . . . . . . 10  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
10 simp1r 928 . . . . . . . . . . . 12  _V  \  { ,  }
11 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
1311, 12imbi12d 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  _V 
\  { ,  }  _V  \  { ,  }
1413spcgv 2634 . . . . . . . . . . . . . . 15  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
1514pm2.43b 46 . . . . . . . . . . . . . 14  _V 
\  { ,  }  _V 
\  { ,  }
16153ad2ant2 925 . . . . . . . . . . . . 13  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
17 eleq2 2098 . . . . . . . . . . . . . . 15
1817imbi1d 220 . . . . . . . . . . . . . 14  _V 
\  { ,  }  _V  \  { ,  }
19183ad2ant3 926 . . . . . . . . . . . . 13  _V  \  { ,  }  _V 
\  { ,  }  _V  \  { ,  }
2016, 19mpbid 135 . . . . . . . . . . . 12  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
2110, 20mpd 13 . . . . . . . . . . 11  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
22213expia 1105 . . . . . . . . . 10  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
239, 22mtod 588 . . . . . . . . 9  _V  \  { ,  }
24 elex 2560 . . . . . . . . . . . . 13  _V
25 prid1g 3465 . . . . . . . . . . . . . 14  _V  { ,  }
26 eldif 2921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  _V  \  { ,  }  _V  { ,  }
27 pm3.4 316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  _V  { ,  }  _V  { ,  }
2826, 27sylbi 114 . . . . . . . . . . . . . . 15  _V  \  { ,  }  _V  { ,  }
2928com12 27 . . . . . . . . . . . . . 14  _V  _V  \  { ,  }  { ,  }
3025, 29mt2d 555 . . . . . . . . . . . . 13  _V  _V  \  { ,  }
3124, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12  _V  \  { ,  }
3231adantr 261 . . . . . . . . . . 11  _V  \  { ,  }
3332adantr 261 . . . . . . . . . 10  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
34 simp1l 927 . . . . . . . . . . . 12  _V  \  { ,  }
35 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
36 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
3735, 36imbi12d 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  _V 
\  { ,  }  _V  \  { ,  }
3837spcgv 2634 . . . . . . . . . . . . . . 15  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
3938pm2.43b 46 . . . . . . . . . . . . . 14  _V 
\  { ,  }  _V 
\  { ,  }
40393ad2ant2 925 . . . . . . . . . . . . 13  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
41 eleq2 2098 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241imbi1d 220 . . . . . . . . . . . . . 14  _V 
\  { ,  }  _V  \  { ,  }
43423ad2ant3 926 . . . . . . . . . . . . 13  _V  \  { ,  }  _V 
\  { ,  }  _V  \  { ,  }
4440, 43mpbid 135 . . . . . . . . . . . 12  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
4534, 44mpd 13 . . . . . . . . . . 11  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
46453expia 1105 . . . . . . . . . 10  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
4733, 46mtod 588 . . . . . . . . 9  _V  \  { ,  }
48 ioran 668 . . . . . . . . 9
4923, 47, 48sylanbrc 394 . . . . . . . 8  _V  \  { ,  }
50 vex 2554 . . . . . . . . . 10 
_V
51 eldif 2921 . . . . . . . . . 10  _V  \  { ,  }  _V  { ,  }
5250, 51mpbiran 846 . . . . . . . . 9  _V  \  { ,  }  { ,  }
5350elpr 3385 . . . . . . . . 9  { ,  }
5452, 53xchbinx 606 . . . . . . . 8  _V  \  { ,  }
5549, 54sylibr 137 . . . . . . 7  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
5655ex 108 . . . . . 6  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
5756alrimiv 1751 . . . . 5  _V 
\  { ,  }  _V  \  { ,  }
58 df-ral 2305 . . . . . . . 8  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
59 clelsb3 2139 . . . . . . . . . 10  _V  \  { ,  }  _V 
\  { ,  }
6059imbi2i 215 . . . . . . . . 9  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
6160albii 1356 . . . . . . . 8  _V  \  { ,  }  _V 
\  { ,  }
6258, 61bitri 173 . . . . . . 7  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
6362imbi1i 227 . . . . . 6  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }  _V 
\  { ,  }  _V  \  { ,  }
6463albii 1356 . . . . 5  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
6557, 64sylibr 137 . . . 4  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
66 ax-setind 4220 . . . 4  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
6765, 66syl 14 . . 3  _V  \  { ,  }
68 eleq1 2097 . . . . 5  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
6968spcgv 2634 . . . 4  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
7069adantr 261 . . 3  _V  \  { ,  }  _V  \  { ,  }
7167, 70mpd 13 . 2  _V 
\  { ,  }
7271, 32pm2.65i 567 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628   w3a 884  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390  wsb 1642  wral 2300   _Vcvv 2551    \ cdif 2908   {cpr 3368
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-sn 3373  df-pr 3374
This theorem is referenced by:  preleq  4233  suc11g  4235  ordsuc  4241  2pwuninelg  5839  nntri2  6012  nndcel  6016
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