Theorem dmsnm 4786

Description: The domain of a singleton is inhabited iff the singleton argument is an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dmsnm	|- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem dmsnm

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elvv 4402	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )
2		vex 2560	. . . . 5 |- x e. _V
3	2	eldm 4532	. . . 4 |- ( x e. dom { A } <-> E. y x { A } y )
4		df-br 3765	. . . . . 6 |- ( x { A } y <-> <. x , y >. e. { A } )
5		vex 2560	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6	2, 5	opex 3966	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. _V
7	6	elsn 3391	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. { A } <-> <. x , y >. = A )
8		eqcom 2042	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = A <-> A = <. x , y >. )
9	4, 7, 8	3bitri 195	. . . . 5 |- ( x { A } y <-> A = <. x , y >. )
10	9	exbii 1496	. . . 4 |- ( E. y x { A } y <-> E. y A = <. x , y >. )
11	3, 10	bitr2i 174	. . 3 |- ( E. y A = <. x , y >. <-> x e. dom { A } )
12	11	exbii 1496	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. <-> E. x x e. dom { A } )
13	1, 12	bitri 173	1 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )

Syntax hints:   <-> wb 98   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   {csn 3375   <.cop 3378   class class class wbr 3764   X. cxp 4343   dom cdm 4345

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-dm 4355

This theorem is referenced by:  rnsnm  4787  dmsn0  4788  dmsn0el  4790  relsn2m  4791