Theorem dmin 4543

Description: The domain of an intersection belong to the intersection of domains. Theorem 6 of [Suppes] p. 60. (Contributed by NM, 15-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmin	|- dom ( A i^i B ) C_ ( dom A i^i dom B )

Proof of Theorem dmin

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.40 1522	. . 3 |- ( E. y ( <. x , y >. e. A /\ <. x , y >. e. B ) -> ( E. y <. x , y >. e. A /\ E. y <. x , y >. e. B ) )
2		vex 2560	. . . . 5 |- x e. _V
3	2	eldm2 4533	. . . 4 |- ( x e. dom ( A i^i B ) <-> E. y <. x , y >. e. ( A i^i B ) )
4		elin 3126	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( A i^i B ) <-> ( <. x , y >. e. A /\ <. x , y >. e. B ) )
5	4	exbii 1496	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A i^i B ) <-> E. y ( <. x , y >. e. A /\ <. x , y >. e. B ) )
6	3, 5	bitri 173	. . 3 |- ( x e. dom ( A i^i B ) <-> E. y ( <. x , y >. e. A /\ <. x , y >. e. B ) )
7		elin 3126	. . . 4 |- ( x e. ( dom A i^i dom B ) <-> ( x e. dom A /\ x e. dom B ) )
8	2	eldm2 4533	. . . . 5 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
9	2	eldm2 4533	. . . . 5 |- ( x e. dom B <-> E. y <. x , y >. e. B )
10	8, 9	anbi12i 433	. . . 4 |- ( ( x e. dom A /\ x e. dom B ) <-> ( E. y <. x , y >. e. A /\ E. y <. x , y >. e. B ) )
11	7, 10	bitri 173	. . 3 |- ( x e. ( dom A i^i dom B ) <-> ( E. y <. x , y >. e. A /\ E. y <. x , y >. e. B ) )
12	1, 6, 11	3imtr4i 190	. 2 |- ( x e. dom ( A i^i B ) -> x e. ( dom A i^i dom B ) )
13	12	ssriv 2949	1 |- dom ( A i^i B ) C_ ( dom A i^i dom B )

Syntax hints:   /\ wa 97   E.wex 1381   e. wcel 1393   i^i cin 2916   C_ wss 2917   <.cop 3378   dom cdm 4345

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-dm 4355

This theorem is referenced by:  rnin  4733