Theorem 3reeanv 2480

Description: Rearrange three existential quantifiers. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
3reeanv	|- ( E. x e. A E. y e. B E. z e. C ( ph /\ ps /\ ch ) <-> ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps /\ E. z e. C ch ) )

Distinct variable groups:   ph, y, z   ps, x, z   ch, x, y   y, A   x, B, z   x, C, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( z)   A( x, z)   B( y)   C( z)

Proof of Theorem 3reeanv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.41v 2466	. . 3 |- ( E. x e. A ( E. y e. B ( ph /\ ps ) /\ E. z e. C ch ) <-> ( E. x e. A E. y e. B ( ph /\ ps ) /\ E. z e. C ch ) )
2		reeanv 2479	. . . 4 |- ( E. x e. A E. y e. B ( ph /\ ps ) <-> ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps ) )
3	2	anbi1i 431	. . 3 |- ( ( E. x e. A E. y e. B ( ph /\ ps ) /\ E. z e. C ch ) <-> ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps ) /\ E. z e. C ch ) )
4	1, 3	bitri 173	. 2 |- ( E. x e. A ( E. y e. B ( ph /\ ps ) /\ E. z e. C ch ) <-> ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps ) /\ E. z e. C ch ) )
5		df-3an 887	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps /\ ch ) <-> ( ( ph /\ ps ) /\ ch ) )
6	5	2rexbii 2333	. . . 4 |- ( E. y e. B E. z e. C ( ph /\ ps /\ ch ) <-> E. y e. B E. z e. C ( ( ph /\ ps ) /\ ch ) )
7		reeanv 2479	. . . 4 |- ( E. y e. B E. z e. C ( ( ph /\ ps ) /\ ch ) <-> ( E. y e. B ( ph /\ ps ) /\ E. z e. C ch ) )
8	6, 7	bitri 173	. . 3 |- ( E. y e. B E. z e. C ( ph /\ ps /\ ch ) <-> ( E. y e. B ( ph /\ ps ) /\ E. z e. C ch ) )
9	8	rexbii 2331	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. B E. z e. C ( ph /\ ps /\ ch ) <-> E. x e. A ( E. y e. B ( ph /\ ps ) /\ E. z e. C ch ) )
10		df-3an 887	. 2 |- ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps /\ E. z e. C ch ) <-> ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps ) /\ E. z e. C ch ) )
11	4, 9, 10	3bitr4i 201	1 |- ( E. x e. A E. y e. B E. z e. C ( ph /\ ps /\ ch ) <-> ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps /\ E. z e. C ch ) )

Syntax hints:   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 885   E.wrex 2307

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-rex 2312

This theorem is referenced by: (None)