Theorem peano2rem 10227

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 9918	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 10224	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 703	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   − cmin 10145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by:  lem1  10743  addltmul  11145  div4p1lem1div2  11164  nnunb  11165  suprzcl  11333  zbtwnre  11662  rebtwnz  11663  qbtwnre  11904  qbtwnxr  11905  xrinfmsslem  12010  xrub  12014  reltre  12041  elfznelfzo  12439  fldiv4p1lem1div2  12498  fldiv4lem1div2uz2  12499  ceile  12510  intfracq  12520  fldiv  12521  m1modnnsub1  12578  expubnd  12783  bernneq2  12853  expnbnd  12855  cshwidxm1  13404  isercolllem1  14243  tgioo  22407  icoopnst  22546  mbfi1fseqlem6  23293  dvfsumlem1  23593  dvfsumlem2  23594  dgreq0  23825  advlog  24200  atanlogsublem  24442  birthdaylem3  24480  wilthlem1  24594  ftalem5  24603  ppiub  24729  chtublem  24736  chtub  24737  logfaclbnd  24747  logfacbnd3  24748  perfectlem2  24755  lgsval2lem  24832  lgsqrlem2  24872  gausslemma2dlem0c  24883  gausslemma2dlem1a  24890  lgseisenlem2  24901  lgseisen  24904  lgsquadlem1  24905  lgsquadlem2  24906  2lgslem1c  24918  2lgsoddprmlem2  24934  rplogsumlem1  24973  selberg2lem  25039  pntrsumo1  25054  pntpbnd1a  25074  colinearalglem4  25589  axlowdimlem16  25637  axeuclidlem  25642  wwlkm1edg  26263  clwwlkel  26321  eupap1  26503  usgreghash2spotv  26593  numclwwlkovf2ex  26613  numclwwlk5  26639  numclwwlk7  26641  addltmulALT  28689  cvmliftlem2  30522  cvmliftlem6  30526  cvmliftlem8  30528  cvmliftlem9  30529  cvmliftlem10  30530  iooelexlt  32386  ltflcei  32567  poimirlem12  32591  poimirlem13  32592  poimirlem14  32593  poimirlem31  32610  poimirlem32  32611  itg2addnclem2  32632  itg2addnclem3  32633  monoords  38452  supxrgere  38490  infleinflem2  38528  stoweidlem14  38907  stoweidlem34  38927  fourierdlem11  39011  fourierdlem12  39012  fourierdlem15  39015  fourierdlem42  39042  fourierdlem50  39049  fourierdlem64  39063  fourierdlem79  39078  smfresal  39673  m1mod0mod1  39949  nn0oALTV  40145  perfectALTVlem2  40165  zm1nn  40348  nbusgrvtxm1  40607  pthdlem1  40972  crctcsh1wlkn0lem1  41013  wwlksm1edg  41078  clwwlksel  41221  fusgreghash2wspv  41499  av-numclwwlkovf2ex  41517  av-numclwwlk7  41545  m1modmmod  42110  difmodm1lt  42111  flnn0div2ge  42121  logbpw2m1  42159  fllog2  42160