Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | wwlkprop 26213 |
. . 3
⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉)) |
2 | | iswwlk 26211 |
. . . . 5
⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))) |
3 | | lencl 13179 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈
ℕ0) |
4 | | simpl 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈
ℕ0) |
5 | | 1red 9934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 1 ∈ ℝ) |
6 | | 2re 10967 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 2 ∈
ℝ |
7 | 6 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 2 ∈ ℝ) |
8 | | nn0re 11178 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
((#‘𝑊) ∈
ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℝ) |
9 | 8 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℝ) |
10 | | 1le2 11118 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 1 ≤
2 |
11 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 1 ≤ 2) |
12 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 2 ≤ (#‘𝑊)) |
13 | 5, 7, 9, 11, 12 | letrd 10073 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 1 ≤ (#‘𝑊)) |
14 | 4, 13 | jca 553 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤
(#‘𝑊))) |
15 | | elnnnn0c 11215 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((#‘𝑊) ∈
ℕ ↔ ((#‘𝑊)
∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑊))) |
16 | 14, 15 | sylibr 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ) |
17 | | lbfzo0 12375 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 ∈
(0..^(#‘𝑊)) ↔
(#‘𝑊) ∈
ℕ) |
18 | 16, 17 | sylibr 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 0 ∈ (0..^(#‘𝑊))) |
19 | | nn0ge2m1nn 11237 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈
ℕ) |
20 | | lbfzo0 12375 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 ∈
(0..^((#‘𝑊) −
1)) ↔ ((#‘𝑊)
− 1) ∈ ℕ) |
21 | 19, 20 | sylibr 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) |
22 | 18, 21 | jca 553 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 0 ∈
(0..^((#‘𝑊) −
1)))) |
23 | 3, 22 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 0 ∈
(0..^((#‘𝑊) −
1)))) |
24 | | inelcm 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((0
∈ (0..^(#‘𝑊))
∧ 0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) ≠
∅) |
25 | 23, 24 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) ≠
∅) |
26 | | wrdfn 13174 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊))) |
27 | 26 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊))) |
28 | | fnresdisj 5915 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)) → (((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔
(𝑊 ↾
(0..^((#‘𝑊) −
1))) = ∅)) |
29 | 27, 28 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) =
∅)) |
30 | | nn0ge2m1nn0 11238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈
ℕ0) |
31 | 9 | lem1d 10836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)) |
32 | 30, 4, 31 | 3jca 1235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0
∧ (#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊))) |
33 | 3, 32 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0
∧ (#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊))) |
34 | | elfz2nn0 12300 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((#‘𝑊)
− 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ↔ (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0
∧ (#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊))) |
35 | 33, 34 | sylibr 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) |
36 | | swrd0val 13273 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) = (𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1)))) |
37 | 36 | eqeq1d 2612 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) =
∅)) |
38 | 37 | bicomd 212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) =
∅)) |
39 | 35, 38 | syldan 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) =
∅)) |
40 | 29, 39 | bitr2d 268 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) = ∅ ↔
((0..^(#‘𝑊)) ∩
(0..^((#‘𝑊) −
1))) = ∅)) |
41 | 40 | necon3bid 2826 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ≠ ∅ ↔
((0..^(#‘𝑊)) ∩
(0..^((#‘𝑊) −
1))) ≠ ∅)) |
42 | 25, 41 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ≠
∅) |
43 | 42 | ex 449 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ≠
∅)) |
44 | 43 | 3ad2ant2 1076 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ≠
∅)) |
45 | 44 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ≠
∅)) |
46 | 45 | imp 444 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ≠
∅) |
47 | | swrdcl 13271 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ∈ Word 𝑉) |
48 | 47 | a1d 25 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ∈ Word 𝑉)) |
49 | 48 | 3ad2ant2 1076 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ∈ Word 𝑉)) |
50 | 49 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ∈ Word 𝑉)) |
51 | 50 | imp 444 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ∈ Word 𝑉) |
52 | | nn0z 11277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
((#‘𝑊) ∈
ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℤ) |
53 | | peano2zm 11297 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
((#‘𝑊) ∈
ℤ → ((#‘𝑊)
− 1) ∈ ℤ) |
54 | 52, 53 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
((#‘𝑊) ∈
ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ∈
ℤ) |
55 | | peano2zm 11297 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((#‘𝑊)
− 1) ∈ ℤ → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈
ℤ) |
56 | 54, 55 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
((#‘𝑊) ∈
ℕ0 → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈
ℤ) |
57 | 56 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈
ℤ) |
58 | 54 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈
ℤ) |
59 | | peano2rem 10227 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
((#‘𝑊) ∈
ℝ → ((#‘𝑊)
− 1) ∈ ℝ) |
60 | 8, 59 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
((#‘𝑊) ∈
ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ∈
ℝ) |
61 | 60 | lem1d 10836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
((#‘𝑊) ∈
ℕ0 → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1)) |
62 | 61 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1)) |
63 | 57, 58, 62 | 3jca 1235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧
((#‘𝑊) − 1)
∈ ℤ ∧ (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1))) |
64 | 3, 63 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧
((#‘𝑊) − 1)
∈ ℤ ∧ (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1))) |
65 | | eluz2 11569 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((#‘𝑊)
− 1) ∈ (ℤ≥‘(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ↔
((((#‘𝑊) − 1)
− 1) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧
(((#‘𝑊) − 1)
− 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1))) |
66 | 64, 65 | sylibr 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈
(ℤ≥‘(((#‘𝑊) − 1) − 1))) |
67 | 8 | lem1d 10836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
((#‘𝑊) ∈
ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)) |
68 | 67 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)) |
69 | 30, 4, 68 | 3jca 1235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0
∧ (#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊))) |
70 | 3, 69 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0
∧ (#‘𝑊) ∈
ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊))) |
71 | 70, 34 | sylibr 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) |
72 | | swrd0len 13274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) =
((#‘𝑊) −
1)) |
73 | 72 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1)
= (((#‘𝑊) − 1)
− 1)) |
74 | 71, 73 | syldan 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1) =
(((#‘𝑊) − 1)
− 1)) |
75 | 74 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) →
(ℤ≥‘((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1)) =
(ℤ≥‘(((#‘𝑊) − 1) − 1))) |
76 | 66, 75 | eleqtrrd 2691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈
(ℤ≥‘((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) −
1))) |
77 | | fzoss2 12365 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((#‘𝑊)
− 1) ∈ (ℤ≥‘((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1)) →
(0..^((#‘(𝑊 substr
〈0, ((#‘𝑊)
− 1)〉)) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1))) |
78 | 76, 77 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0..^((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1)) ⊆
(0..^((#‘𝑊) −
1))) |
79 | | ssralv 3629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((0..^((#‘(𝑊
substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1)) ⊆
(0..^((#‘𝑊) −
1)) → (∀𝑥
∈ (0..^((#‘𝑊)
− 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) |
80 | 78, 79 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) |
81 | 71, 72 | syldan 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) = ((#‘𝑊) − 1)) |
82 | 81 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1) =
(((#‘𝑊) − 1)
− 1)) |
83 | 82 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0..^((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1)) =
(0..^(((#‘𝑊) −
1) − 1))) |
84 | 83 | eleq2d 2673 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1)) ↔
𝑥 ∈
(0..^(((#‘𝑊) −
1) − 1)))) |
85 | | simpl 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉) |
86 | 85 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉) |
87 | 35 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) →
((#‘𝑊) − 1)
∈ (0...(#‘𝑊))) |
88 | 3, 30 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈
ℕ0) |
89 | | nn0z 11277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
(((#‘𝑊)
− 1) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ∈
ℤ) |
90 | | fzossrbm1 12366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
(((#‘𝑊)
− 1) ∈ ℤ → (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆
(0..^((#‘𝑊) −
1))) |
91 | 89, 90 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((#‘𝑊)
− 1) ∈ ℕ0 → (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆
(0..^((#‘𝑊) −
1))) |
92 | 88, 91 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆
(0..^((#‘𝑊) −
1))) |
93 | 92 | sselda 3568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) |
94 | 86, 87, 93 | 3jca 1235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)))) |
95 | | swrd0fv 13291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘𝑥) = (𝑊‘𝑥)) |
96 | 94, 95 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘𝑥) = (𝑊‘𝑥)) |
97 | 96 | eqcomd 2616 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊‘𝑥) = ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘𝑥)) |
98 | 3, 19 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈
ℕ) |
99 | | elfzom1p1elfzo 12414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
((((#‘𝑊)
− 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑥 + 1) ∈
(0..^((#‘𝑊) −
1))) |
100 | 98, 99 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑥 + 1) ∈
(0..^((#‘𝑊) −
1))) |
101 | 86, 87, 100 | 3jca 1235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝑥 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)))) |
102 | | swrd0fv 13291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝑥 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘(𝑥 + 1)) = (𝑊‘(𝑥 + 1))) |
103 | 101, 102 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘(𝑥 + 1)) = (𝑊‘(𝑥 + 1))) |
104 | 103 | eqcomd 2616 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊‘(𝑥 + 1)) = ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘(𝑥 + 1))) |
105 | 97, 104 | preq12d 4220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘𝑥), ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘(𝑥 + 1))}) |
106 | 105 | ex 449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘𝑥), ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘(𝑥 + 1))})) |
107 | 84, 106 | sylbid 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1)) →
{(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘𝑥), ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘(𝑥 + 1))})) |
108 | 107 | imp 444 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1))) →
{(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘𝑥), ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘(𝑥 + 1))}) |
109 | 108 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1))) →
({(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘𝑥), ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) |
110 | 109 | biimpd 218 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1))) →
({(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘𝑥), ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) |
111 | 110 | ralimdva 2945 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1)){((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘𝑥), ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) |
112 | 80, 111 | syld 46 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1)){((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘𝑥), ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) |
113 | 112 | expcom 450 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (2 ≤
(#‘𝑊) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1)){((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘𝑥), ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))) |
114 | 113 | com3l 87 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (2 ≤ (#‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1)){((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘𝑥), ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))) |
115 | 114 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (2 ≤ (#‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1)){((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘𝑥), ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))) |
116 | 115 | 3imp 1249 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1)){((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘𝑥), ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) |
117 | 116 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (2 ≤ (#‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1)){((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘𝑥), ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) |
118 | 117 | imp 444 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)) − 1)){((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘𝑥), ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) |
119 | 46, 51, 118 | 3jca 1235 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ≠ ∅ ∧
(𝑊 substr 〈0,
((#‘𝑊) −
1)〉) ∈ Word 𝑉
∧ ∀𝑥 ∈
(0..^((#‘(𝑊 substr
〈0, ((#‘𝑊)
− 1)〉)) − 1)){((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘𝑥), ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) |
120 | | iswwlk 26211 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ∈
(𝑉 WWalks 𝐸) ↔ ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ≠ ∅ ∧
(𝑊 substr 〈0,
((#‘𝑊) −
1)〉) ∈ Word 𝑉
∧ ∀𝑥 ∈
(0..^((#‘(𝑊 substr
〈0, ((#‘𝑊)
− 1)〉)) − 1)){((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘𝑥), ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))) |
121 | 120 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ≠ ∅ ∧
(𝑊 substr 〈0,
((#‘𝑊) −
1)〉) ∈ Word 𝑉
∧ ∀𝑥 ∈
(0..^((#‘(𝑊 substr
〈0, ((#‘𝑊)
− 1)〉)) − 1)){((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘𝑥), ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))) |
122 | 121 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ≠ ∅ ∧
(𝑊 substr 〈0,
((#‘𝑊) −
1)〉) ∈ Word 𝑉
∧ ∀𝑥 ∈
(0..^((#‘(𝑊 substr
〈0, ((#‘𝑊)
− 1)〉)) − 1)){((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘𝑥), ((𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))) |
123 | 119, 122 | mpbird 246 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸)) |
124 | 123 | ex 449 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))) |
125 | 124 | ex 449 |
. . . . 5
⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸)))) |
126 | 2, 125 | sylbid 229 |
. . . 4
⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸)))) |
127 | 126 | 3adant3 1074 |
. . 3
⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸)))) |
128 | 1, 127 | mpcom 37 |
. 2
⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))) |
129 | 128 | imp 444 |
1
⊢ ((𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr 〈0, ((#‘𝑊) − 1)〉) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸)) |