Theorem fldiv4p1lem1div2 12498

Description: The floor of an integer equal to 3 or greater than 4, increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv4p1lem1div2	⊢ ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4p1lem1div2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1le1 10534	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 1
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 = 3 → 1 ≤ 1)
3		oveq1 6556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 3 → (𝑁 / 4) = (3 / 4))
4	3	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 3 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(3 / 4)))
5		3lt4 11074	. . . . . . 7 ⊢ 3 < 4
6		3nn0 11187	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		4nn 11064	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
8		divfl0 12487	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0))
9	6, 7, 8	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0)
10	5, 9	mpbi 219	. . . . . 6 ⊢ (⌊‘(3 / 4)) = 0
11	4, 10	syl6eq 2660	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 3 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = 0)
12	11	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = (0 + 1))
13		0p1e1 11009	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
14	12, 13	syl6eq 2660	. . 3 ⊢ (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = 1)
15		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 3 → (𝑁 − 1) = (3 − 1))
16		3m1e2 11014	. . . . . 6 ⊢ (3 − 1) = 2
17	15, 16	syl6eq 2660	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 3 → (𝑁 − 1) = 2)
18	17	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 3 → ((𝑁 − 1) / 2) = (2 / 2))
19		2div2e1 11027	. . . 4 ⊢ (2 / 2) = 1
20	18, 19	syl6eq 2660	. . 3 ⊢ (𝑁 = 3 → ((𝑁 − 1) / 2) = 1)
21	2, 14, 20	3brtr4d 4615	. 2 ⊢ (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
22		uzp1 11597	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(5 + 1))))
23		2re 10967	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
24	23	leidi 10441	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 2
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 5 → 2 ≤ 2)
26		oveq1 6556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 / 4) = (5 / 4))
27	26	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 5 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(5 / 4)))
28		df-5 10959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 = (4 + 1)
29	28	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 / 4) = ((4 + 1) / 4)
30		4cn 10975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℂ
31		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
32		4ne0 10994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ≠ 0
33	30, 31, 30, 32	divdiri 10661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 + 1) / 4) = ((4 / 4) + (1 / 4))
34	30, 32	dividi 10637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 / 4) = 1
35	34	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 / 4) + (1 / 4)) = (1 + (1 / 4))
36	33, 35	eqtri 2632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 + 1) / 4) = (1 + (1 / 4))
37	29, 36	eqtri 2632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 / 4) = (1 + (1 / 4))
38	37	fveq2i 6106	. . . . . . . . 9 ⊢ (⌊‘(5 / 4)) = (⌊‘(1 + (1 / 4)))
39		1re 9918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
40		0le1 10430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
41		4re 10974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℝ
42		4pos 10993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
43		divge0 10771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (1 / 4))
44	39, 40, 41, 42, 43	mp4an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (1 / 4)
45		1lt4 11076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 4
46		recgt1 10798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
47	41, 42, 46	mp2an 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
48	45, 47	mpbi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 4) < 1
49		1z 11284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
50	41, 32	rereccli 10669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
51		flbi2 12480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (1 / 4) ∈ ℝ) → ((⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1 ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
52	49, 50, 51	mp2an 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1 ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1))
53	44, 48, 52	mpbir2an 957	. . . . . . . . 9 ⊢ (⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1
54	38, 53	eqtri 2632	. . . . . . . 8 ⊢ (⌊‘(5 / 4)) = 1
55	27, 54	syl6eq 2660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 5 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = 1)
56	55	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = (1 + 1))
57		1p1e2 11011	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
58	56, 57	syl6eq 2660	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = 2)
59		oveq1 6556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 − 1) = (5 − 1))
60	30, 31, 28	mvrraddi 10177	. . . . . . . 8 ⊢ (5 − 1) = 4
61	59, 60	syl6eq 2660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 − 1) = 4)
62	61	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 5 → ((𝑁 − 1) / 2) = (4 / 2))
63		4d2e2 11061	. . . . . 6 ⊢ (4 / 2) = 2
64	62, 63	syl6eq 2660	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 5 → ((𝑁 − 1) / 2) = 2)
65	25, 58, 64	3brtr4d 4615	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
66		eluz2 11569	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁))
67		zre 11258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
68		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
69	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
70	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ≠ 0)
71	68, 69, 70	redivcld 10732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
72		flle 12462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
73	67, 71, 72	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
74	73	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
75	71	flcld 12461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
76	75	zred 11358	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
77	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
78	76, 71, 77	3jca 1235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
79	67, 78	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
81		leadd1 10375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1)))
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1)))
83	74, 82	mpbid 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1))
84		div4p1lem1div2 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
85	67, 84	sylan 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
86		peano2re 10088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
87	76, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
88		peano2re 10088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
89	71, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
90		peano2rem 10227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
91	90	rehalfcld 11156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
92	87, 89, 91	3jca 1235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
93	67, 92	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
94	93	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
95		letr 10010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ) → ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1) ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1) ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
97	83, 85, 96	mp2and 711	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
98	97	3adant1 1072	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
99	66, 98	sylbi 206	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
100		5p1e6 11032	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
101	100	fveq2i 6106	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(5 + 1)) = (ℤ≥‘6)
102	99, 101	eleq2s 2706	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(5 + 1)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
103	65, 102	jaoi 393	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(5 + 1))) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
104	22, 103	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
105	21, 104	jaoi 393	1 ⊢ ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ⌊cfl 12453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0f  24886