Theorem rehalfcld 11156

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 11135	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℝcr 9814   / cdiv 10563  2c2 10947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956

This theorem is referenced by:  div4p1lem1div2  11164  flhalf  12493  fldiv4p1lem1div2  12498  fldiv4lem1div2uz2  12499  facavg  12950  recl  13698  crre  13702  geomulcvg  14446  resin4p  14707  recos4p  14708  resinhcl  14725  cos01bnd  14755  rpnnen2lem11  14792  ruclem1  14799  ruclem2  14800  ruclem3  14801  nno  14936  bitsp1  14991  prmreclem5  15462  4sqlem5  15484  4sqlem6  15485  4sqlem10  15489  4sqlem15  15501  4sqlem16  15502  blhalf  22020  metustexhalf  22171  cfilucfil  22174  nlmvscnlem2  22299  ioo2bl  22404  ioo2blex  22405  reperflem  22429  metnrmlem3  22472  ipcnlem2  22851  iscau3  22884  minveclem4  23011  ovolunlem1a  23071  dvferm1lem  23551  dvferm2lem  23553  lhop1lem  23580  ulmdvlem1  23958  radcnvle  23978  psercnlem1  23983  pserdvlem1  23985  pilem3  24011  coseq00topi  24058  cosordlem  24081  logtayl  24206  cxpcn3lem  24288  isosctrlem1  24348  chordthmlem4  24362  heron  24365  birthdaylem3  24480  cxp2limlem  24502  lgamgulmlem2  24556  lgamgulmlem3  24557  lgamucov  24564  ftalem2  24600  chtub  24737  bcmono  24802  lgsqrlem2  24872  gausslemma2dlem1a  24890  gausslemma2dlem2  24892  gausslemma2dlem3  24893  lgsquadlem1  24905  lgsquadlem2  24906  2lgslem1a2  24915  2lgslem1c  24918  2sqlem8  24951  chpo1ubb  24970  dchrisum0fno1  25000  logdivsum  25022  mulog2sumlem1  25023  mulog2sumlem2  25024  vmalogdivsum2  25027  vmalogdivsum  25028  2vmadivsumlem  25029  selberg4lem1  25049  selberg3r  25058  selberg4r  25059  selberg34r  25060  pntpbnd1a  25074  pntibndlem2  25080  pntibndlem3  25081  pntlemg  25087  pntlemh  25088  minvecolem4  27120  nmcexi  28269  lt2addrd  28903  le2halvesd  28910  sqsscirc1  29282  tpr2rico  29286  dnibndlem12  31649  knoppndvlem21  31693  iooelexlt  32386  sin2h  32569  cos2h  32570  tan2h  32571  mblfinlem4  32619  itg2addnclem  32631  ftc1anclem7  32661  ftc1anc  32663  oddfl  38430  dstregt0  38434  suplesup  38496  infleinflem1  38527  ioomidp  38587  lptre2pt  38707  0ellimcdiv  38716  dvbdfbdioolem2  38819  dvbdfbdioo  38820  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  stoweidlem14  38907  stoweidlem24  38917  stoweidlem49  38942  stoweidlem52  38945  stoweidlem62  38955  dirker2re  38985  dirkertrigeqlem3  38993  dirkertrigeq  38994  dirkercncflem1  38996  dirkercncflem2  38997  dirkercncflem4  38999  fourierdlem5  39005  fourierdlem10  39010  fourierdlem43  39043  fourierdlem56  39055  fourierdlem58  39057  fourierdlem62  39061  fourierdlem66  39065  fourierdlem68  39067  fourierdlem72  39071  fourierdlem76  39075  fourierdlem78  39077  fourierdlem79  39078  fourierdlem83  39082  fourierdlem87  39086  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem112  39111  sge0xaddlem1  39326  smflimlem4  39660  flnn0div2ge  42121  dignn0flhalflem2  42208  dignn0flhalf  42210