Theorem radcnvle 23978

Description: If 𝑋 is a convergent point of the infinite series, then 𝑋 is within the closed disk of radius 𝑅 centered at zero. Or, by contraposition, the series diverges at any point strictly more than 𝑅 from the origin. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
radcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
radcnv.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvle.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
radcnvle.a	⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
radcnvle	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≤ 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem radcnvle

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 < (abs‘𝑋))
2		iccssxr 12127	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3		pser.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
4		radcnv.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
5		radcnv.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
6	3, 4, 5	radcnvcl 23975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
7	2, 6	sseldi 3566	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
9		radcnvle.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
10	9	abscld 14023	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
12		0xr 9965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
13		pnfxr 9971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14		elicc1 12090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞)))
15	12, 13, 14	mp2an 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞))
16	6, 15	sylib 207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ +∞))
17	16	simp2d 1067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
18		ge0gtmnf 11877	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅) → -∞ < 𝑅)
19	7, 17, 18	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑅)
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → -∞ < 𝑅)
21		ressxr 9962	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
22	21, 10	sseldi 3566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
23	22	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
24		xrltle 11858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ*) → (𝑅 < (abs‘𝑋) → 𝑅 ≤ (abs‘𝑋)))
25	8, 23, 24	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 < (abs‘𝑋) → 𝑅 ≤ (abs‘𝑋)))
26	1, 25	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ≤ (abs‘𝑋))
27		xrre 11874	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑅 ∧ 𝑅 ≤ (abs‘𝑋))) → 𝑅 ∈ ℝ)
28	8, 11, 20, 26, 27	syl22anc 1319	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ)
29		avglt1 11147	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
30	28, 11, 29	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
31	1, 30	mpbid 221	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
32		ssrab2 3650	. . . . . . 7 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
33	32, 21	sstri 3577	. . . . . 6 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
34	28, 11	readdcld 9948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 + (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
35	34	rehalfcld 11156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℝ)
36	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
37	35	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℂ)
38	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑋 ∈ ℂ)
39		0red 9920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ∈ ℝ)
40	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ≤ 𝑅)
41	39, 28, 35, 40, 31	lelttrd 10074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
42	39, 35, 41	ltled 10064	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ≤ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
43	35, 42	absidd 14009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)) = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
44		avglt2 11148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋)))
45	28, 11, 44	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋)))
46	1, 45	mpbid 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋))
47	43, 46	eqbrtrd 4605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)) < (abs‘𝑋))
48		radcnvle.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
49	48	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → seq0( + , (𝐺‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
50	3, 36, 37, 38, 47, 49	radcnvlem3 23973	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ )
51		fveq2 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
52	51	seqeq3d 12671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → seq0( + , (𝐺‘𝑦)) = seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))))
53	52	eleq1d 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → (seq0( + , (𝐺‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ ))
54		fveq2 6103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (𝐺‘𝑟) = (𝐺‘𝑦))
55	54	seqeq3d 12671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → seq0( + , (𝐺‘𝑟)) = seq0( + , (𝐺‘𝑦)))
56	55	eleq1d 2672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
57	56	cbvrabv 3172	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
58	53, 57	elrab2 3333	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ (((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℝ ∧ seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ ))
59	35, 50, 58	sylanbrc 695	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ })
60		supxrub 12026	. . . . . 6 ⊢ (({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* ∧ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
61	33, 59, 60	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
62	61, 5	syl6breqr 4625	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ 𝑅)
63	35, 28	lenltd 10062	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → (((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
64	62, 63	mpbid 221	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 < (abs‘𝑋)) → ¬ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
65	31, 64	pm2.65da 598	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 < (abs‘𝑋))
66		xrlenlt 9982	. . 3 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑋) ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < (abs‘𝑋)))
67	22, 7, 66	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < (abs‘𝑋)))
68	65, 67	mpbird 246	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≤ 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  [,]cicc 12049  seqcseq 12663  ↑cexp 12722  abscabs 13822   ⇝ cli 14063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265

This theorem is referenced by:  pserdvlem2  23986  abelthlem1  23989  logtayl  24206