dvfsumlem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem dvfsumlem2 23594

Description: Lemma for dvfsumrlim 23598. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dvfsum.s	⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
dvfsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
dvfsum.c	⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
dvfsum.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ^*)
dvfsum.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
dvfsum.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴)))
dvfsumlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dvfsumlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
dvfsumlem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
dvfsumlem1.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
dvfsumlem1.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑈)
dvfsumlem1.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))

**Assertion**
Ref	Expression
dvfsumlem2	⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑌) ≤ (𝐻‘𝑋) ∧ ((𝐻‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ((𝐻‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))

Distinct variable groups: 𝐵,𝑘 𝑥,𝐶 𝑥,𝑘,𝐷 𝜑,𝑘,𝑥 𝑆,𝑘,𝑥 𝑘,𝑀,𝑥 𝑥,𝑇 𝑘,𝑌,𝑥 𝑥,𝑍 𝑈,𝑘,𝑥 𝑘,𝑋,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑥,𝑘) 𝐵(𝑥) 𝐶(𝑘) 𝑇(𝑘) 𝐻(𝑥,𝑘) 𝑉(𝑥,𝑘) 𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumlem2 Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2		ioossre 12106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3598	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
4		dvfsumlem1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sseldi 3566	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
6		dvfsumlem1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
7	6, 1	syl6eleq 2698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞))
8		dvfsum.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 9968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ^*)
10		elioopnf 12138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
12	7, 11	mpbid 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋))
13	12	simpld 474	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
14		reflcl 12459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
16	5, 15	resubcld 10337	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ)
17	13	rexrd 9968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ^*)
18	5	rexrd 9968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ^*)
19		dvfsumlem1.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
20		ubicc2 12160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑌 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
22		pnfxr 9971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ^*)
24	12	simprd 478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 < 𝑋)
25		ltpnf 11830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → 𝑌 < +∞)
26	5, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < +∞)
27		iccssioo 12113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑇 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) ∧ (𝑇 < 𝑋 ∧ 𝑌 < +∞)) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝑇(,)+∞))
28	9, 23, 24, 26, 27	syl22anc 1319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝑇(,)+∞))
29	28, 1	syl6sseqr 3615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝑆)
30	29	sselda 3568	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
31	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
32		dvfsum.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
33		dvfsum.b1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
34		dvfsum.b3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
35	31, 32, 33, 34	dvmptrecl 23591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
36		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵)
37	35, 36	fmptd 6292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℝ)
38		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
39		nfcsb1v 3515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
40		csbeq1a 3508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
41	38, 39, 40	cbvmpt 4677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
42	41	fmpt 6289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℝ)
43	37, 42	sylibr 223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
44	43	r19.21bi 2916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
45	30, 44	syldan 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
46	45	ralrimiva 2949	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
47		csbeq1 3502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
48	47	eleq1d 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
49	48	rspcv 3278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (∀𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
50	21, 46, 49	sylc 63	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
51	16, 50	remulcld 9949	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
52		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
53	32, 52	fmptd 6292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℝ)
54		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
55		nfcsb1v 3515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴
56		csbeq1a 3508	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
57	54, 55, 56	cbvmpt 4677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
58	57	fmpt 6289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℝ)
59	53, 58	sylibr 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
60	59	r19.21bi 2916	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
61	30, 60	syldan 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
62	61	ralrimiva 2949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
63		csbeq1 3502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
64	63	eleq1d 2672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
65	64	rspcv 3278	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (∀𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
66	21, 62, 65	sylc 63	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
67	51, 66	resubcld 10337	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
68	13, 15	resubcld 10337	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ)
69		lbicc2 12159	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑌 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
70	17, 18, 19, 69	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
71		csbeq1 3502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
72	71	eleq1d 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
73	72	rspcv 3278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (∀𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
74	70, 46, 73	sylc 63	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
75	68, 74	remulcld 9949	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
76		csbeq1 3502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
77	76	eleq1d 2672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
78	77	rspcv 3278	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (∀𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
79	70, 62, 78	sylc 63	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
80	75, 79	resubcld 10337	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
81		fzfid 12634	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
82		dvfsum.b2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
83	82	ralrimiva 2949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
84		elfzuz 12209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
85		dvfsum.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
86	84, 85	syl6eleqr 2699	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
87		dvfsum.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
88	87	eleq1d 2672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
89	88	rspccva 3281	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
90	83, 86, 89	syl2an 493	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℝ)
91	81, 90	fsumrecl 14312	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℝ)
92	68, 50	remulcld 9949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
93	92, 79	resubcld 10337	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
94	5, 13	resubcld 10337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ)
95	50, 94	remulcld 9949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℝ)
96	50	recnd 9947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
97	5	recnd 9947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
98	13	recnd 9947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
99	96, 97, 98	subdid 10365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) = ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌) − (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋)))
100		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
101	100	mulcn 22478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld))
102	28, 2	syl6ss 3580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
103		ax-resscn 9872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
104	102, 103	syl6ss 3580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℂ)
105	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
106		cncfmptc 22522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
107	50, 104, 105, 106	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
108		cncfmptid 22523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
109	102, 103, 108	sylancl 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
110		remulcl 9900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) ∈ ℝ)
111	100, 101, 107, 109, 103, 110	cncfmpt2ss 22526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
112		reelprrecn 9907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
113	112	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
114		ioossicc 12130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
115	114, 102	syl5ss 3579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ)
116	115	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑦 ∈ ℝ)
117	116	recnd 9947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑦 ∈ ℂ)
118		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 1 ∈ ℂ)
119		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
120	119	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
121		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
122	113	dvmptid 23526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
123	100	tgioo2 22414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
124		iooretop 22379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ∈ (topGen‘ran (,))
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ (topGen‘ran (,)))
126	113, 120, 121, 122, 115, 123, 100, 125	dvmptres 23532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 1))
127	113, 117, 118, 126, 96	dvmptcmul 23533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 1)))
128	96	mulid1d 9936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 1) = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
129	128	mpteq2dv 4673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 1)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
130	127, 129	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
131	29	resmptd 5371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ↾ (𝑋[,]𝑌)) = (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))
132	32	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
133	132, 52	fmptd 6292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℂ)
134	34	dmeqd 5248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
135	33	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ 𝑉)
136		dmmptg 5549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = 𝑆)
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = 𝑆)
138	134, 137	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = 𝑆)
139		dvcn 23490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℂ))
140	105, 133, 31, 138, 139	syl31anc 1321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℂ))
141		cncffvrn 22509	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℝ))
142	103, 140, 141	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℝ))
143	53, 142	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ))
144	57, 143	syl5eqelr 2693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ))
145		rescncf 22508	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝑆 → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ↾ (𝑋[,]𝑌)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ)))
146	29, 144, 145	sylc 63	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ↾ (𝑋[,]𝑌)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
147	131, 146	eqeltrrd 2689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
148	60	recnd 9947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
149	57	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (ℝ D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))
150	34, 149, 41	3eqtr3g 2667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
151	114, 29	syl5ss 3579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ 𝑆)
152	113, 148, 44, 150, 151, 123, 100, 125	dvmptres 23532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
153	114	sseli 3564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌))
154		simpl 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝜑)
155	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑆)
156		dvfsum.d	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
157	156	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐷 ∈ ℝ)
158	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
159		elicc2 12109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌)))
160	13, 5, 159	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌)))
161	160	biimpa 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌))
162	161	simp1d 1066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ∈ ℝ)
163		dvfsumlem1.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
164	163	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐷 ≤ 𝑋)
165	161	simp2d 1067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑦)
166	157, 158, 162, 164, 165	letrd 10073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐷 ≤ 𝑦)
167	161	simp3d 1068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ≤ 𝑌)
168		dvfsumlem1.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑈)
169	168	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑌 ≤ 𝑈)
170		simp2r 1081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑆)
171		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝑘 ∈ 𝑆 ↔ 𝑌 ∈ 𝑆))
172	171	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)))
173		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝑦 ≤ 𝑘 ↔ 𝑦 ≤ 𝑌))
174		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝑘 ≤ 𝑈 ↔ 𝑌 ≤ 𝑈))
175	173, 174	3anbi23d 1394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → ((𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈) ↔ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈)))
176	172, 175	3anbi23d 1394	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈))))
177		vex 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑘 ∈ V
178	177, 87	csbie 3525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐶
179		csbeq1 3502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
180	178, 179	syl5eqr 2658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → 𝐶 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
181	180	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
182	176, 181	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
183		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈))
184		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
185		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
186	184, 185, 39	nfbr 4629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
187	183, 186	nfim 1813	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
188		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
189	188	anbi1d 737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆)))
190		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ 𝑦))
191		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ 𝑘 ↔ 𝑦 ≤ 𝑘))
192	190, 191	3anbi12d 1392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈) ↔ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)))
193	189, 192	3anbi23d 1394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈))))
194	40	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ≤ 𝐵 ↔ 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
195	193, 194	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
196		dvfsum.l	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
197	187, 195, 196	chvar 2250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
198	182, 197	vtoclg 3239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
199	170, 198	mpcom 37	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
200	154, 30, 155, 166, 167, 169, 199	syl123anc 1335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
201	153, 200	sylan2 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
202		oveq2 6557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋))
203		oveq2 6557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌))
204	13, 5, 111, 130, 147, 152, 201, 70, 21, 19, 202, 76, 203, 63	dvle 23574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌) − (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋)) ≤ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
205	99, 204	eqbrtrd 4605	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) ≤ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
206	95, 66, 79, 205	lesubd 10510	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ≤ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))))
207	92	recnd 9947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
208	51	recnd 9947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
209	66	recnd 9947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
210	207, 208, 209	subsubd 10299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
211	208, 207	negsubdi2d 10287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))
212	15	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℂ)
213	97, 98, 212	nnncan2d 10306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))) = (𝑌 − 𝑋))
214	213	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ((𝑌 − 𝑋) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
215	16	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
216	68	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
217	215, 216, 96	subdird 10366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))
218	94	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℂ)
219	218, 96	mulcomd 9940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
220	214, 217, 219	3eqtr3d 2652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
221	220	negeqd 10154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = -(⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
222	211, 221	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = -(⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
223	222	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (-(⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
224	95	recnd 9947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℂ)
225	224, 209	negsubdid 10286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (-(⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
226	223, 225	eqtr4d 2647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = -((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
227	224, 209	negsubdi2d 10287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))))
228	210, 226, 227	3eqtrd 2648	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))))
229	206, 228	breqtrrd 4611	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
230	79, 92, 67, 229	lesubd 10510	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
231		flle 12462	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
232	13, 231	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
233	13, 15	subge0d 10496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ↔ (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋))
234	232, 233	mpbird 246	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
235	200	ralrimiva 2949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
236	71	breq2d 4595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
237	236	rspcv 3278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (∀𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
238	70, 235, 237	sylc 63	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
239	50, 74, 68, 234, 238	lemul2ad 10843	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
240	92, 75, 79, 239	lesub1dd 10522	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
241	67, 93, 80, 230, 240	letrd 10073	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
242	67, 80, 91, 241	leadd1dd 10520	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
243		dvfsum.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
244		dvfsum.md	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
245		dvfsum.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ^*)
246		dvfsum.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴)))
247		dvfsumlem1.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
248	1, 85, 243, 156, 244, 8, 32, 33, 82, 34, 87, 245, 196, 246, 6, 4, 163, 19, 168, 247	dvfsumlem1 23593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑌) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
249	13	leidd 10473	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑋)
250	17, 18, 245, 19, 168	xrletrd 11869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑈)
251		fllep1 12464	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
252	13, 251	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
253	1, 85, 243, 156, 244, 8, 32, 33, 82, 34, 87, 245, 196, 246, 6, 6, 163, 249, 250, 252	dvfsumlem1 23593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
254	242, 248, 253	3brtr4d 4615	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑌) ≤ (𝐻‘𝑋))
255	80, 74	resubcld 10337	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
256	67, 50	resubcld 10337	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
257		peano2rem 10227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
258	68, 257	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
259	258, 74	remulcld 9949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
260	259, 79	resubcld 10337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
261		peano2rem 10227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
262	16, 261	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
263	262, 74	remulcld 9949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
264	263, 66	resubcld 10337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
265	262, 50	remulcld 9949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
266	265, 66	resubcld 10337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
267	259	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
268	263	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
269	267, 268	subcld 10271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ ℂ)
270	269, 209	addcomd 10117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 + ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))))
271	267, 268, 209	subsubd 10299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
272	209, 268, 267	subsub2d 10300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 + ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))))
273	270, 271, 272	3eqtr4d 2654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))))
274		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
275	215, 216, 274	nnncan2d 10306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) = ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))))
276	275, 213	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) = (𝑌 − 𝑋))
277	276	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = ((𝑌 − 𝑋) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
278	262	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℂ)
279	258	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℂ)
280	74	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
281	278, 279, 280	subdird 10366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
282	218, 280	mulcomd 9940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
283	277, 281, 282	3eqtr3d 2652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
284	283	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))))
285	273, 284	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))))
286	74, 94	remulcld 9949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℝ)
287		cncfmptc 22522	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
288	74, 104, 105, 287	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
289		remulcl 9900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) ∈ ℝ)
290	100, 101, 288, 109, 103, 289	cncfmpt2ss 22526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
291	113, 117, 118, 126, 280	dvmptcmul 23533	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 1)))
292	280	mulid1d 9936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 1) = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
293	292	mpteq2dv 4673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 1)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
294	291, 293	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
295	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
296	162	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ∈ ℝ^*)
297	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ^*)
298	245	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑈 ∈ ℝ^*)
299	296, 297, 298, 167, 169	xrletrd 11869	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ≤ 𝑈)
300		vex 3176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑦 ∈ V
301		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
302	301	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ↔ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)))
303		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑋 ≤ 𝑘 ↔ 𝑋 ≤ 𝑦))
304		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 ≤ 𝑈 ↔ 𝑦 ≤ 𝑈))
305	303, 304	3anbi23d 1394	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈) ↔ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑈)))
306	302, 305	3anbi23d 1394	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑈))))
307		csbeq1 3502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
308	178, 307	syl5eqr 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
309	308	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
310	306, 309	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑈)) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
311		simp2l 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
312		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈))
313		nfcsb1v 3515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
314	184, 185, 313	nfbr 4629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
315	312, 314	nfim 1813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
316		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ 𝑋 ∈ 𝑆))
317	316	anbi1d 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ↔ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆)))
318		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ 𝑋))
319		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≤ 𝑘 ↔ 𝑋 ≤ 𝑘))
320	318, 319	3anbi12d 1392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈) ↔ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)))
321	317, 320	3anbi23d 1394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈))))
322		csbeq1a 3508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
323	322	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐶 ≤ 𝐵 ↔ 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
324	321, 323	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
325	315, 324, 196	vtoclg1f 3238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
326	311, 325	mpcom 37	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
327	300, 310, 326	vtocl 3232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑈)) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
328	154, 295, 30, 164, 165, 299, 327	syl123anc 1335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
329	153, 328	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
330		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋))
331		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌))
332	13, 5, 147, 152, 290, 294, 329, 70, 21, 19, 76, 330, 63, 331	dvle 23574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌) − (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋)))
333	280, 97, 98	subdid 10365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) = ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌) − (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋)))
334	332, 333	breqtrrd 4611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
335	66, 79, 286, 334	subled 10509	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
336	285, 335	eqbrtrd 4605	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
337	259, 264, 79, 336	subled 10509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
338	262	renegcld 10336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
339		1red 9934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
340	5, 15, 339	lesubadd2d 10505	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1 ↔ 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)))
341	247, 340	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
342	16, 339	suble0d 10497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ≤ 0 ↔ (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1))
343	341, 342	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ≤ 0)
344	262	le0neg1d 10478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1)))
345	343, 344	mpbid 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ -((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1))
346	50, 74, 338, 345, 238	lemul2ad 10843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
347	278, 96	mulneg1d 10362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
348	278, 280	mulneg1d 10362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
349	346, 347, 348	3brtr3d 4614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ≤ -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
350	263, 265	lenegd 10485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ↔ -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ≤ -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
351	349, 350	mpbird 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
352	263, 265, 66, 351	lesub1dd 10522	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
353	260, 264, 266, 337, 352	letrd 10073	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
354	216, 274, 280	subdird 10366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (1 · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
355	280	mulid2d 9937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
356	355	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (1 · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
357	354, 356	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
358	357	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
359	215, 274, 96	subdird 10366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (1 · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))
360	96	mulid2d 9937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
361	360	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (1 · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
362	359, 361	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
363	362	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
364	353, 358, 363	3brtr3d 4614	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
365	75	recnd 9947	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
366	79	recnd 9947	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
367	365, 366, 280	sub32d 10303	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
368	208, 209, 96	sub32d 10303	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
369	364, 367, 368	3brtr4d 4615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
370	255, 256, 91, 369	leadd1dd 10520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) ≤ (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
371	80	recnd 9947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
372	91	recnd 9947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℂ)
373	371, 372, 280	addsubd 10292	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
374	67	recnd 9947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
375	374, 372, 96	addsubd 10292	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
376	370, 373, 375	3brtr4d 4615	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
377	253	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
378	248	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
379	376, 377, 378	3brtr4d 4615	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ((𝐻‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
380	254, 379	jca 553	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑌) ≤ (𝐻‘𝑋) ∧ ((𝐻‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ((𝐻‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ∀wral 2896 ⦋csb 3499 ⊆ wss 3540 {cpr 4127 class class class wbr 4583 ↦ cmpt 4643 dom cdm 5038 ran crn 5039 ↾ cres 5040 ⟶wf 5800 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℂcc 9813 ℝcr 9814 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 · cmul 9820 +∞cpnf 9950 ℝ^*cxr 9952 < clt 9953 ≤ cle 9954 − cmin 10145 -cneg 10146 ℤcz 11254 ℤ_≥cuz 11563 (,)cioo 12046 [,]cicc 12049 ...cfz 12197 ⌊cfl 12453 Σcsu 14264 TopOpenctopn 15905 topGenctg 15921 ℂ_fldccnfld 19567 –cn→ccncf 22487 D cdv 23433

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-inf2 8421 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893 ax-addf 9894 ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-fal 1481 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-iin 4458 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-se 4998 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-isom 5813 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-of 6795 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-supp 7183 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-2o 7448 df-oadd 7451 df-er 7629 df-map 7746 df-pm 7747 df-ixp 7795 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-fsupp 8159 df-fi 8200 df-sup 8231 df-inf 8232 df-oi 8298 df-card 8648 df-cda 8873 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-4 10958 df-5 10959 df-6 10960 df-7 10961 df-8 10962 df-9 10963 df-n0 11170 df-z 11255 df-dec 11370 df-uz 11564 df-q 11665 df-rp 11709 df-xneg 11822 df-xadd 11823 df-xmul 11824 df-ioo 12050 df-ico 12052 df-icc 12053 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-fl 12455 df-seq 12664 df-exp 12723 df-hash 12980 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-sqrt 13823 df-abs 13824 df-clim 14067 df-sum 14265 df-struct 15697 df-ndx 15698 df-slot 15699 df-base 15700 df-sets 15701 df-ress 15702 df-plusg 15781 df-mulr 15782 df-starv 15783 df-sca 15784 df-vsca 15785 df-ip 15786 df-tset 15787 df-ple 15788 df-ds 15791 df-unif 15792 df-hom 15793 df-cco 15794 df-rest 15906 df-topn 15907 df-0g 15925 df-gsum 15926 df-topgen 15927 df-pt 15928 df-prds 15931 df-xrs 15985 df-qtop 15990 df-imas 15991 df-xps 15993 df-mre 16069 df-mrc 16070 df-acs 16072 df-mgm 17065 df-sgrp 17107 df-mnd 17118 df-submnd 17159 df-mulg 17364 df-cntz 17573 df-cmn 18018 df-psmet 19559 df-xmet 19560 df-met 19561 df-bl 19562 df-mopn 19563 df-fbas 19564 df-fg 19565 df-cnfld 19568 df-top 20521 df-bases 20522 df-topon 20523 df-topsp 20524 df-cld 20633 df-ntr 20634 df-cls 20635 df-nei 20712 df-lp 20750 df-perf 20751 df-cn 20841 df-cnp 20842 df-haus 20929 df-cmp 21000 df-tx 21175 df-hmeo 21368 df-fil 21460 df-fm 21552 df-flim 21553 df-flf 21554 df-xms 21935 df-ms 21936 df-tms 21937 df-cncf 22489 df-limc 23436 df-dv 23437

This theorem is referenced by: dvfsumlem3 23595

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