Theorem subdid 10365

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 10342	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1318	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   · cmul 9820   − cmin 10145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147

This theorem is referenced by:  muls1d  10370  recextlem1  10536  cru  10889  cju  10893  zneo  11336  qbtwnre  11904  lincmb01cmp  12186  iccf1o  12187  intfracq  12520  modlt  12541  moddi  12600  modsubdir  12601  subsq  12834  expmulnbnd  12858  crre  13702  remullem  13716  mulcn2  14174  iseraltlem3  14262  fsumparts  14379  geoserg  14437  mertens  14457  bpolydiflem  14624  bpoly4  14629  fsumcube  14630  tanval3  14703  tanadd  14736  eirrlem  14771  3dvdsOLD  14891  bezoutlem3  15096  cncongr1  15219  eulerthlem2  15325  prmdiv  15328  prmdiveq  15329  4sqlem10  15489  mul4sqlem  15495  4sqlem17  15503  blcvx  22409  icopnfhmeo  22550  pcoass  22632  pjthlem1  23016  itgmulc2lem2  23405  dvmulbr  23508  cmvth  23558  dvcvx  23587  dvfsumle  23588  dvfsumabs  23590  dvfsumlem2  23594  aaliou3lem8  23904  abelthlem2  23990  tangtx  24061  tanregt0  24089  efif1olem2  24093  efif1olem4  24095  ang180lem5  24343  isosctrlem2  24349  isosctrlem3  24350  affineequiv  24353  heron  24365  dcubic1  24372  dquart  24380  quartlem1  24384  asinsin  24419  efiatan  24439  atanlogsublem  24442  efiatan2  24444  2efiatan  24445  tanatan  24446  atantayl2  24465  lgamgulmlem2  24556  lgamgulmlem3  24557  wilthlem2  24595  ftalem5  24603  basellem3  24609  basellem5  24611  logfaclbnd  24747  bposlem1  24809  lgseisenlem2  24901  lgsquadlem1  24905  2sqlem4  24946  vmadivsum  24971  rplogsumlem1  24973  dchrmusum2  24983  dchrvmasumiflem2  24991  rpvmasum2  25001  dchrisum0lem2a  25006  dchrisum0lem2  25007  rplogsum  25016  mulogsumlem  25020  mulogsum  25021  mulog2sumlem1  25023  mulog2sumlem2  25024  mulog2sumlem3  25025  vmalogdivsum2  25027  vmalogdivsum  25028  2vmadivsumlem  25029  logsqvma  25031  selberglem1  25034  selberglem2  25035  selberg2lem  25039  chpdifbndlem1  25042  selberg3lem1  25046  selberg4lem1  25049  selberg4  25050  pntrsumo1  25054  selbergr  25057  selberg3r  25058  selberg4r  25059  selberg34r  25060  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem5  25070  pntrlog2bndlem6  25072  pntlemo  25096  ttgcontlem1  25565  brbtwn2  25585  colinearalglem1  25586  axcontlem8  25651  pjhthlem1  27634  2sqmod  28979  knoppndvlem11  31683  knoppndvlem14  31686  knoppndvlem15  31687  knoppndvlem16  31688  bj-bary1lem  32337  bj-bary1lem1  32338  itgmulc2nclem2  32647  areacirclem1  32670  areacirclem4  32673  areacirc  32675  cntotbnd  32765  irrapxlem2  36405  irrapxlem3  36406  irrapxlem5  36408  pellexlem6  36416  pell1qrgaplem  36455  qirropth  36491  jm2.17a  36545  congmul  36552  jm2.18  36573  areaquad  36821  itgsinexp  38846  stoweidlem26  38919  stirlinglem7  38973  fourierdlem83  39082  etransclem46  39173  smfmullem1  39676  fmtnorec3  39998  fmtnorec4  39999