Theorem eupickbi 1982

Description: Theorem *14.26 in [WhiteheadRussell] p. 192. (Contributed by Andrew Salmon, 11-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
eupickbi	⊢ (∃!𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))

Proof of Theorem eupickbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupicka 1980	. . 3 ⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))
2	1	ex 108	. 2 ⊢ (∃!𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))
3		hba1 1433	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥∀𝑥(𝜑 → 𝜓))
4		ancl 301	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 → 𝜓) → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
5		simpl 102	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜑)
6	4, 5	impbid1 130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 → 𝜓) → (𝜑 ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
7	6	sps 1430	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → 𝜓) → (𝜑 ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
8	3, 7	eubidh 1906	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → 𝜓) → (∃!𝑥𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
9		euex 1930	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))
10	8, 9	syl6bi 152	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → 𝜓) → (∃!𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
11	10	com12 27	. 2 ⊢ (∃!𝑥𝜑 → (∀𝑥(𝜑 → 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
12	2, 11	impbid 120	1 ⊢ (∃!𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∀wal 1241  ∃wex 1381  ∃!weu 1900

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904

This theorem is referenced by: (None)