Theorem 0nelop 3985

Description: A property of ordered pairs. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0nelop	⊢ ¬ ∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩

Proof of Theorem 0nelop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		oprcl 3573	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3		dfopg 3547	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
5	1, 4	eleqtrd 2116	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ∅ ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
6		elpri 3398	. . 3 ⊢ (∅ ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}} → (∅ = {𝐴} ∨ ∅ = {𝐴, 𝐵}))
7	5, 6	syl 14	. 2 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (∅ = {𝐴} ∨ ∅ = {𝐴, 𝐵}))
8	2	simpld 105	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐴 ∈ V)
9		snnzg 3485	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≠ ∅)
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → {𝐴} ≠ ∅)
11	10	necomd 2291	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ∅ ≠ {𝐴})
12		prnzg 3492	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
13	8, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
14	13	necomd 2291	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ∅ ≠ {𝐴, 𝐵})
15	11, 14	jca 290	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (∅ ≠ {𝐴} ∧ ∅ ≠ {𝐴, 𝐵}))
16		neanior 2292	. . 3 ⊢ ((∅ ≠ {𝐴} ∧ ∅ ≠ {𝐴, 𝐵}) ↔ ¬ (∅ = {𝐴} ∨ ∅ = {𝐴, 𝐵}))
17	15, 16	sylib 127	. 2 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ¬ (∅ = {𝐴} ∨ ∅ = {𝐴, 𝐵}))
18	7, 17	pm2.65i 568	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 97   ∨ wo 629   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ≠ wne 2204  Vcvv 2557  ∅c0 3224  {csn 3375  {cpr 3376  ⟨cop 3378

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-nul 3225  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384

This theorem is referenced by:  0nelelxp  4373