Theorem unissb 3601

Description: Relationship involving membership, subset, and union. Exercise 5 of [Enderton] p. 26 and its converse. (Contributed by NM, 20-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
unissb	|- ( U.A C_ B <-> A.x e. A x C_ B)

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem unissb

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 3574	. . . . . 6 |- (y e. U.A <-> E.x(y e. x /\ x e. A))
2	1	imbi1i 227	. . . . 5 |- ((y e. U.A -> y e. B) <-> (E.x(y e. x /\ x e. A) -> y e. B))
3		19.23v 1760	. . . . 5 |- (A.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> (E.x(y e. x /\ x e. A) -> y e. B))
4	2, 3	bitr4i 176	. . . 4 |- ((y e. U.A -> y e. B) <-> A.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. B))
5	4	albii 1356	. . 3 |- (A.y(y e. U.A -> y e. B) <-> A.yA.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. B))
6		alcom 1364	. . . 4 |- (A.yA.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> A.xA.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. B))
7		19.21v 1750	. . . . . 6 |- (A.y(x e. A -> (y e. x -> y e. B)) <-> (x e. A -> A.y(y e. x -> y e. B)))
8		impexp 250	. . . . . . . 8 |- (((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> (y e. x -> (x e. A -> y e. B)))
9		bi2.04 237	. . . . . . . 8 |- ((y e. x -> (x e. A -> y e. B)) <-> (x e. A -> (y e. x -> y e. B)))
10	8, 9	bitri 173	. . . . . . 7 |- (((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> (x e. A -> (y e. x -> y e. B)))
11	10	albii 1356	. . . . . 6 |- (A.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> A.y(x e. A -> (y e. x -> y e. B)))
12		dfss2 2928	. . . . . . 7 |- (x C_ B <-> A.y(y e. x -> y e. B))
13	12	imbi2i 215	. . . . . 6 |- ((x e. A -> x C_ B) <-> (x e. A -> A.y(y e. x -> y e. B)))
14	7, 11, 13	3bitr4i 201	. . . . 5 |- (A.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> (x e. A -> x C_ B))
15	14	albii 1356	. . . 4 |- (A.xA.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> A.x(x e. A -> x C_ B))
16	6, 15	bitri 173	. . 3 |- (A.yA.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> A.x(x e. A -> x C_ B))
17	5, 16	bitri 173	. 2 |- (A.y(y e. U.A -> y e. B) <-> A.x(x e. A -> x C_ B))
18		dfss2 2928	. 2 |- ( U.A C_ B <-> A.y(y e. U.A -> y e. B))
19		df-ral 2305	. 2 |- (A.x e. A x C_ B <-> A.x(x e. A -> x C_ B))
20	17, 18, 19	3bitr4i 201	1 |- ( U.A C_ B <-> A.x e. A x C_ B)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98  A.wal 1240  E.wex 1378   e. wcel 1390  A.wral 2300   C_ wss 2911   U.cuni 3571

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-v 2553  df-in 2918  df-ss 2925  df-uni 3572

This theorem is referenced by:  uniss2  3602  ssunieq  3604  sspwuni  3730  pwssb  3731  bm2.5ii  4188