Theorem unissb 3573

Description: Relationship involving membership, subset, and union. Exercise 5 of [Enderton] p. 26 and its converse. (Contributed by NM, 20-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
unissb	|- ( U.A C_ B <-> A.x e. A x C_ B)

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem unissb

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 3546	. . . . . 6 |- (y e. U.A <-> E.x(y e. x /\ x e. A))
2	1	imbi1i 227	. . . . 5 |- ((y e. U.A -> y e. B) <-> (E.x(y e. x /\ x e. A) -> y e. B))
3		19.23v 1736	. . . . 5 |- (A.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> (E.x(y e. x /\ x e. A) -> y e. B))
4	2, 3	bitr4i 176	. . . 4 |- ((y e. U.A -> y e. B) <-> A.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. B))
5	4	albii 1332	. . 3 |- (A.y(y e. U.A -> y e. B) <-> A.yA.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. B))
6		alcom 1340	. . . 4 |- (A.yA.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> A.xA.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. B))
7		19.21v 1726	. . . . . 6 |- (A.y(x e. A -> (y e. x -> y e. B)) <-> (x e. A -> A.y(y e. x -> y e. B)))
8		impexp 250	. . . . . . . 8 |- (((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> (y e. x -> (x e. A -> y e. B)))
9		bi2.04 237	. . . . . . . 8 |- ((y e. x -> (x e. A -> y e. B)) <-> (x e. A -> (y e. x -> y e. B)))
10	8, 9	bitri 173	. . . . . . 7 |- (((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> (x e. A -> (y e. x -> y e. B)))
11	10	albii 1332	. . . . . 6 |- (A.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> A.y(x e. A -> (y e. x -> y e. B)))
12		dfss2 2902	. . . . . . 7 |- (x C_ B <-> A.y(y e. x -> y e. B))
13	12	imbi2i 215	. . . . . 6 |- ((x e. A -> x C_ B) <-> (x e. A -> A.y(y e. x -> y e. B)))
14	7, 11, 13	3bitr4i 201	. . . . 5 |- (A.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> (x e. A -> x C_ B))
15	14	albii 1332	. . . 4 |- (A.xA.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> A.x(x e. A -> x C_ B))
16	6, 15	bitri 173	. . 3 |- (A.yA.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> A.x(x e. A -> x C_ B))
17	5, 16	bitri 173	. 2 |- (A.y(y e. U.A -> y e. B) <-> A.x(x e. A -> x C_ B))
18		dfss2 2902	. 2 |- ( U.A C_ B <-> A.y(y e. U.A -> y e. B))
19		df-ral 2280	. 2 |- (A.x e. A x C_ B <-> A.x(x e. A -> x C_ B))
20	17, 18, 19	3bitr4i 201	1 |- ( U.A C_ B <-> A.x e. A x C_ B)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98  A.wal 1221  E.wex 1354   e. wcel 1366  A.wral 2275   C_ wss 2885   U.cuni 3543

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1226  df-nf 1323  df-sb 1619  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ral 2280  df-v 2528  df-in 2892  df-ss 2899  df-uni 3544

This theorem is referenced by:  uniss2  3574  ssunieq  3576  sspwuni  3702  pwssb  3703  bm2.5ii  4160