Theorem unidif0 3920

Description: The removal of the empty set from a class does not affect its union. (Contributed by NM, 22-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unidif0	|- U. ( A \ { (/) } ) = U. A

Proof of Theorem unidif0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 3229	. . . . . . 7 |- ( x e. y -> -. y = (/) )
2	1	pm4.71i 371	. . . . . 6 |- ( x e. y <-> ( x e. y /\ -. y = (/) ) )
3	2	anbi1i 431	. . . . 5 |- ( ( x e. y /\ y e. A ) <-> ( ( x e. y /\ -. y = (/) ) /\ y e. A ) )
4		an32 496	. . . . 5 |- ( ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. y = (/) ) <-> ( ( x e. y /\ -. y = (/) ) /\ y e. A ) )
5		anass 381	. . . . 5 |- ( ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. y = (/) ) <-> ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) )
6	3, 4, 5	3bitr2ri 198	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) <-> ( x e. y /\ y e. A ) )
7	6	exbii 1496	. . 3 |- ( E. y ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
8		eluni 3583	. . . 4 |- ( x e. U. ( A \ { (/) } ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. ( A \ { (/) } ) ) )
9		eldif 2927	. . . . . . 7 |- ( y e. ( A \ { (/) } ) <-> ( y e. A /\ -. y e. { (/) } ) )
10		velsn 3392	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { (/) } <-> y = (/) )
11	10	notbii 594	. . . . . . . 8 |- ( -. y e. { (/) } <-> -. y = (/) )
12	11	anbi2i 430	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ -. y e. { (/) } ) <-> ( y e. A /\ -. y = (/) ) )
13	9, 12	bitri 173	. . . . . 6 |- ( y e. ( A \ { (/) } ) <-> ( y e. A /\ -. y = (/) ) )
14	13	anbi2i 430	. . . . 5 |- ( ( x e. y /\ y e. ( A \ { (/) } ) ) <-> ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) )
15	14	exbii 1496	. . . 4 |- ( E. y ( x e. y /\ y e. ( A \ { (/) } ) ) <-> E. y ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) )
16	8, 15	bitri 173	. . 3 |- ( x e. U. ( A \ { (/) } ) <-> E. y ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) )
17		eluni 3583	. . 3 |- ( x e. U. A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
18	7, 16, 17	3bitr4i 201	. 2 |- ( x e. U. ( A \ { (/) } ) <-> x e. U. A )
19	18	eqriv 2037	1 |- U. ( A \ { (/) } ) = U. A

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 97   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   \ cdif 2914   (/)c0 3224   {csn 3375   U.cuni 3580

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-dif 2920  df-nul 3225  df-sn 3381  df-uni 3581

This theorem is referenced by: (None)