Theorem tfi 4305

Description: The Principle of Transfinite Induction. Theorem 7.17 of [TakeutiZaring] p. 39. This principle states that if A is a class of ordinal numbers with the property that every ordinal number included in A also belongs to A, then every ordinal number is in A.

(Contributed by NM, 18-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
tfi	|- ( ( A C_ On /\ A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) ) -> A = On )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem tfi

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2311	. . . . . . 7 |- ( A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) <-> A. x ( x e. On -> ( x C_ A -> x e. A ) ) )
2		imdi 239	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. On -> ( x C_ A -> x e. A ) ) <-> ( ( x e. On -> x C_ A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
3	2	albii 1359	. . . . . . 7 |- ( A. x ( x e. On -> ( x C_ A -> x e. A ) ) <-> A. x ( ( x e. On -> x C_ A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
4	1, 3	bitri 173	. . . . . 6 |- ( A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) <-> A. x ( ( x e. On -> x C_ A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
5		dfss2 2934	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ A <-> A. y ( y e. x -> y e. A ) )
6	5	imbi2i 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. On -> x C_ A ) <-> ( x e. On -> A. y ( y e. x -> y e. A ) ) )
7		19.21v 1753	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) <-> ( x e. On -> A. y ( y e. x -> y e. A ) ) )
8	6, 7	bitr4i 176	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. On -> x C_ A ) <-> A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) )
9	8	imbi1i 227	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. On -> x C_ A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) <-> ( A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
10	9	albii 1359	. . . . . 6 |- ( A. x ( ( x e. On -> x C_ A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) <-> A. x ( A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
11	4, 10	bitri 173	. . . . 5 |- ( A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) <-> A. x ( A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
12		simpl 102	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. x )
13		tron 4119	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Tr On
14		dftr2 3856	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Tr On <-> A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. On ) )
15	13, 14	mpbi 133	. . . . . . . . . . . . 13 |- A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. On )
16	15	spi 1429	. . . . . . . . . . . 12 |- A. x ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. On )
17	16	spi 1429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. On )
18	12, 17	jca 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. x /\ x e. On ) -> ( y e. x /\ y e. On ) )
19	18	imim1i 54	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. x /\ y e. On ) -> y e. A ) -> ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. A ) )
20		impexp 250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. x /\ y e. On ) -> y e. A ) <-> ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) )
21		impexp 250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. A ) <-> ( y e. x -> ( x e. On -> y e. A ) ) )
22		bi2.04 237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. x -> ( x e. On -> y e. A ) ) <-> ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) )
23	21, 22	bitri 173	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. x /\ x e. On ) -> y e. A ) <-> ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) )
24	19, 20, 23	3imtr3i 189	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) )
25	24	alimi 1344	. . . . . . 7 |- ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) )
26	25	imim1i 54	. . . . . 6 |- ( ( A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) -> ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
27	26	alimi 1344	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y ( x e. On -> ( y e. x -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) -> A. x ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
28	11, 27	sylbi 114	. . . 4 |- ( A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) -> A. x ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
29	28	adantl 262	. . 3 |- ( ( A C_ On /\ A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) ) -> A. x ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
30		sbim 1827	. . . . . . . . . 10 |- ( [ y / x ] ( x e. On -> x e. A ) <-> ( [ y / x ] x e. On -> [ y / x ] x e. A ) )
31		clelsb3 2142	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ y / x ] x e. On <-> y e. On )
32		clelsb3 2142	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ y / x ] x e. A <-> y e. A )
33	31, 32	imbi12i 228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( [ y / x ] x e. On -> [ y / x ] x e. A ) <-> ( y e. On -> y e. A ) )
34	30, 33	bitri 173	. . . . . . . . 9 |- ( [ y / x ] ( x e. On -> x e. A ) <-> ( y e. On -> y e. A ) )
35	34	ralbii 2330	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. On -> x e. A ) <-> A. y e. x ( y e. On -> y e. A ) )
36		df-ral 2311	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. x ( y e. On -> y e. A ) <-> A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) )
37	35, 36	bitri 173	. . . . . . 7 |- ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. On -> x e. A ) <-> A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) )
38	37	imbi1i 227	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. On -> x e. A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) <-> ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
39	38	albii 1359	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. On -> x e. A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) <-> A. x ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) )
40		ax-setind 4262	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. On -> x e. A ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) -> A. x ( x e. On -> x e. A ) )
41	39, 40	sylbir 125	. . . 4 |- ( A. x ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) -> A. x ( x e. On -> x e. A ) )
42		dfss2 2934	. . . 4 |- ( On C_ A <-> A. x ( x e. On -> x e. A ) )
43	41, 42	sylibr 137	. . 3 |- ( A. x ( A. y ( y e. x -> ( y e. On -> y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. A ) ) -> On C_ A )
44	29, 43	syl 14	. 2 |- ( ( A C_ On /\ A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) ) -> On C_ A )
45		eqss 2960	. . 3 |- ( A = On <-> ( A C_ On /\ On C_ A ) )
46	45	biimpri 124	. 2 |- ( ( A C_ On /\ On C_ A ) -> A = On )
47	44, 46	syldan 266	1 |- ( ( A C_ On /\ A. x e. On ( x C_ A -> x e. A ) ) -> A = On )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   [wsb 1645   A.wral 2306   C_ wss 2917   Tr wtr 3854   Oncon0 4100

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-setind 4262

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-in 2924  df-ss 2931  df-uni 3581  df-tr 3855  df-iord 4103  df-on 4105

This theorem is referenced by:  tfis  4306