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Description: The Principle of
Transfinite Induction. Theorem 7.17 of [TakeutiZaring]
p. 39. This principle states that if ![]() ![]() ![]() ![]() (Contributed by NM, 18-Feb-2004.) |
Ref | Expression |
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tfi |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | df-ral 2305 |
. . . . . . 7
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2 | imdi 239 |
. . . . . . . 8
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3 | 2 | albii 1356 |
. . . . . . 7
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4 | 1, 3 | bitri 173 |
. . . . . 6
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5 | dfss2 2928 |
. . . . . . . . . 10
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6 | 5 | imbi2i 215 |
. . . . . . . . 9
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7 | 19.21v 1750 |
. . . . . . . . 9
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8 | 6, 7 | bitr4i 176 |
. . . . . . . 8
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9 | 8 | imbi1i 227 |
. . . . . . 7
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10 | 9 | albii 1356 |
. . . . . 6
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11 | 4, 10 | bitri 173 |
. . . . 5
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12 | simpl 102 |
. . . . . . . . . . 11
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13 | tron 4085 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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14 | dftr2 3847 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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15 | 13, 14 | mpbi 133 |
. . . . . . . . . . . . 13
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16 | 15 | spi 1426 |
. . . . . . . . . . . 12
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17 | 16 | spi 1426 |
. . . . . . . . . . 11
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18 | 12, 17 | jca 290 |
. . . . . . . . . 10
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19 | 18 | imim1i 54 |
. . . . . . . . 9
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20 | impexp 250 |
. . . . . . . . 9
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21 | impexp 250 |
. . . . . . . . . 10
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22 | bi2.04 237 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 21, 22 | bitri 173 |
. . . . . . . . 9
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24 | 19, 20, 23 | 3imtr3i 189 |
. . . . . . . 8
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25 | 24 | alimi 1341 |
. . . . . . 7
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26 | 25 | imim1i 54 |
. . . . . 6
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27 | 26 | alimi 1341 |
. . . . 5
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28 | 11, 27 | sylbi 114 |
. . . 4
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29 | 28 | adantl 262 |
. . 3
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30 | sbim 1824 |
. . . . . . . . . 10
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31 | clelsb3 2139 |
. . . . . . . . . . 11
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32 | clelsb3 2139 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | 31, 32 | imbi12i 228 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 30, 33 | bitri 173 |
. . . . . . . . 9
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35 | 34 | ralbii 2324 |
. . . . . . . 8
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36 | df-ral 2305 |
. . . . . . . 8
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37 | 35, 36 | bitri 173 |
. . . . . . 7
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38 | 37 | imbi1i 227 |
. . . . . 6
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39 | 38 | albii 1356 |
. . . . 5
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40 | ax-setind 4220 |
. . . . 5
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41 | 39, 40 | sylbir 125 |
. . . 4
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42 | dfss2 2928 |
. . . 4
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43 | 41, 42 | sylibr 137 |
. . 3
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44 | 29, 43 | syl 14 |
. 2
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45 | eqss 2954 |
. . 3
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46 | 45 | biimpri 124 |
. 2
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47 | 44, 46 | syldan 266 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 99 ax-ia2 100 ax-ia3 101 ax-io 629 ax-5 1333 ax-7 1334 ax-gen 1335 ax-ie1 1379 ax-ie2 1380 ax-8 1392 ax-10 1393 ax-11 1394 ax-i12 1395 ax-bndl 1396 ax-4 1397 ax-17 1416 ax-i9 1420 ax-ial 1424 ax-i5r 1425 ax-ext 2019 ax-setind 4220 |
This theorem depends on definitions: df-bi 110 df-3an 886 df-tru 1245 df-nf 1347 df-sb 1643 df-clab 2024 df-cleq 2030 df-clel 2033 df-nfc 2164 df-ral 2305 df-rex 2306 df-v 2553 df-in 2918 df-ss 2925 df-uni 3572 df-tr 3846 df-iord 4069 df-on 4071 |
This theorem is referenced by: tfis 4249 |
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