Theorem sucprc 4149

Description: A proper class is its own successor. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
sucprc	|- ( -. A e. _V -> suc A = A )

Proof of Theorem sucprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4108	. . 3 |- suc A = ( A u. { A } )
2		snprc 3435	. . . 4 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
3		uneq2 3091	. . . 4 |- ( { A } = (/) -> ( A u. { A } ) = ( A u. (/) ) )
4	2, 3	sylbi 114	. . 3 |- ( -. A e. _V -> ( A u. { A } ) = ( A u. (/) ) )
5	1, 4	syl5eq 2084	. 2 |- ( -. A e. _V -> suc A = ( A u. (/) ) )
6		un0 3251	. 2 |- ( A u. (/) ) = A
7	5, 6	syl6eq 2088	1 |- ( -. A e. _V -> suc A = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1243   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   u. cun 2915   (/)c0 3224   {csn 3375   suc csuc 4102

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-nul 3225  df-sn 3381  df-suc 4108

This theorem is referenced by:  sucprcreg  4273  sucon  4277