ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sucprcreg Structured version   Unicode version

Theorem sucprcreg 4227
Description: A class is equal to its successor iff it is a proper class (assuming the Axiom of Set Induction). (Contributed by NM, 9-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
sucprcreg  _V  suc

Proof of Theorem sucprcreg
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sucprc 4115 . 2  _V  suc
2 elirr 4224 . . . 4
3 nfv 1418 . . . . 5  F/
4 eleq1 2097 . . . . 5
53, 4ceqsalg 2576 . . . 4  _V
62, 5mtbiri 599 . . 3  _V
7 elsn 3382 . . . . 5  { }
8 olc 631 . . . . . 6  { }  { }
9 elun 3078 . . . . . . 7  u.  { }  { }
10 ssid 2958 . . . . . . . . 9  C_
11 df-suc 4074 . . . . . . . . . . 11  suc  u.  { }
1211eqeq1i 2044 . . . . . . . . . 10  suc  u.  { }
13 sseq1 2960 . . . . . . . . . 10  u.  { }  u.  { }  C_  C_
1412, 13sylbi 114 . . . . . . . . 9  suc  u.  { }  C_  C_
1510, 14mpbiri 157 . . . . . . . 8  suc  u.  { }  C_
1615sseld 2938 . . . . . . 7  suc  u.  { }
179, 16syl5bir 142 . . . . . 6  suc  { }
188, 17syl5 28 . . . . 5  suc  { }
197, 18syl5bir 142 . . . 4  suc
2019alrimiv 1751 . . 3  suc
216, 20nsyl3 556 . 2  suc  _V
221, 21impbii 117 1  _V  suc
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 98   wo 628  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390   _Vcvv 2551    u. cun 2909    C_ wss 2911   {csn 3367   suc csuc 4068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-sn 3373  df-suc 4074
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator