Theorem sucel 4147

Description: Membership of a successor in another class. (Contributed by NM, 29-Jun-2004.)

Assertion

Ref	Expression
sucel	|- ( suc A e. B <-> E. x e. B A. y ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem sucel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risset 2352	. 2 |- ( suc A e. B <-> E. x e. B x = suc A )
2		dfcleq 2034	. . . 4 |- ( x = suc A <-> A. y ( y e. x <-> y e. suc A ) )
3		vex 2560	. . . . . . 7 |- y e. _V
4	3	elsuc 4143	. . . . . 6 |- ( y e. suc A <-> ( y e. A \/ y = A ) )
5	4	bibi2i 216	. . . . 5 |- ( ( y e. x <-> y e. suc A ) <-> ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )
6	5	albii 1359	. . . 4 |- ( A. y ( y e. x <-> y e. suc A ) <-> A. y ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )
7	2, 6	bitri 173	. . 3 |- ( x = suc A <-> A. y ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )
8	7	rexbii 2331	. 2 |- ( E. x e. B x = suc A <-> E. x e. B A. y ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )
9	1, 8	bitri 173	1 |- ( suc A e. B <-> E. x e. B A. y ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 98   \/ wo 629   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   E.wrex 2307   suc csuc 4102

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-sn 3381  df-suc 4108

This theorem is referenced by: (None)