Theorem r3al 2366

Description: Triple restricted universal quantification. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
r3al	|- ( A. x e. A A. y e. B A. z e. C ph <-> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, z   y, A, z   z, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   A( x)   B( x, y)   C( x, y, z)

Proof of Theorem r3al

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2311	. 2 |- ( A. x e. A A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> A. x ( x e. A -> A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
2		r2al 2343	. . 3 |- ( A. y e. B A. z e. C ph <-> A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) )
3	2	ralbii 2330	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B A. z e. C ph <-> A. x e. A A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) )
4		3anass 889	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) <-> ( x e. A /\ ( y e. B /\ z e. C ) ) )
5	4	imbi1i 227	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> ( ( x e. A /\ ( y e. B /\ z e. C ) ) -> ph ) )
6		impexp 250	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ ( y e. B /\ z e. C ) ) -> ph ) <-> ( x e. A -> ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
7	5, 6	bitri 173	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> ( x e. A -> ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
8	7	albii 1359	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> A. z ( x e. A -> ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
9		19.21v 1753	. . . . . 6 |- ( A. z ( x e. A -> ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) <-> ( x e. A -> A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
10	8, 9	bitri 173	. . . . 5 |- ( A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> ( x e. A -> A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
11	10	albii 1359	. . . 4 |- ( A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> A. y ( x e. A -> A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
12		19.21v 1753	. . . 4 |- ( A. y ( x e. A -> A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) <-> ( x e. A -> A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
13	11, 12	bitri 173	. . 3 |- ( A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> ( x e. A -> A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
14	13	albii 1359	. 2 |- ( A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> A. x ( x e. A -> A. y A. z ( ( y e. B /\ z e. C ) -> ph ) ) )
15	1, 3, 14	3bitr4i 201	1 |- ( A. x e. A A. y e. B A. z e. C ph <-> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 885   A.wal 1241   e. wcel 1393   A.wral 2306

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311

This theorem is referenced by:  pocl  4040  soss  4051