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Theorem iuncom4 3664
Description: Commutation of union with indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
iuncom4  |-  U_ x  e.  A  U. B  = 
U. U_ x  e.  A  B

Proof of Theorem iuncom4
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 2312 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  B  y  e.  z  <->  E. z
( z  e.  B  /\  y  e.  z
) )
21rexbii 2331 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  E. z  e.  B  y  e.  z  <->  E. x  e.  A  E. z ( z  e.  B  /\  y  e.  z ) )
3 rexcom4 2577 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  E. z ( z  e.  B  /\  y  e.  z )  <->  E. z E. x  e.  A  ( z  e.  B  /\  y  e.  z
) )
42, 3bitri 173 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  E. z  e.  B  y  e.  z  <->  E. z E. x  e.  A  ( z  e.  B  /\  y  e.  z ) )
5 r19.41v 2466 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( z  e.  B  /\  y  e.  z )  <->  ( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z )
)
65exbii 1496 . . . . 5  |-  ( E. z E. x  e.  A  ( z  e.  B  /\  y  e.  z )  <->  E. z
( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z
) )
74, 6bitri 173 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. z  e.  B  y  e.  z  <->  E. z ( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z ) )
8 eluni2 3584 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. B  <->  E. z  e.  B  y  e.  z )
98rexbii 2331 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  U. B  <->  E. x  e.  A  E. z  e.  B  y  e.  z )
10 df-rex 2312 . . . . 5  |-  ( E. z  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  z  <->  E. z ( z  e.  U_ x  e.  A  B  /\  y  e.  z ) )
11 eliun 3661 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  z  e.  B )
1211anbi1i 431 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  U_ x  e.  A  B  /\  y  e.  z )  <->  ( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z )
)
1312exbii 1496 . . . . 5  |-  ( E. z ( z  e. 
U_ x  e.  A  B  /\  y  e.  z )  <->  E. z ( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z ) )
1410, 13bitri 173 . . . 4  |-  ( E. z  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  z  <->  E. z ( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z ) )
157, 9, 143bitr4i 201 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  U. B  <->  E. z  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  z )
16 eliun 3661 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  U. B  <->  E. x  e.  A  y  e.  U. B )
17 eluni2 3584 . . 3  |-  ( y  e.  U. U_ x  e.  A  B  <->  E. z  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  z )
1815, 16, 173bitr4i 201 . 2  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  U. B  <->  y  e.  U.
U_ x  e.  A  B )
1918eqriv 2037 1  |-  U_ x  e.  A  U. B  = 
U. U_ x  e.  A  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 97    = wceq 1243   E.wex 1381    e. wcel 1393   E.wrex 2307   U.cuni 3580   U_ciun 3657
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-uni 3581  df-iun 3659
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