Theorem iuncom4 3655

Description: Commutation of union with indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iuncom4	⊢ ∪ x ∈ A ∪ B = ∪ ∪ x ∈ A B

Proof of Theorem iuncom4

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2306	. . . . . . 7 ⊢ (∃z ∈ B y ∈ z ↔ ∃z(z ∈ B ∧ y ∈ z))
2	1	rexbii 2325	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ A ∃z ∈ B y ∈ z ↔ ∃x ∈ A ∃z(z ∈ B ∧ y ∈ z))
3		rexcom4 2571	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ A ∃z(z ∈ B ∧ y ∈ z) ↔ ∃z∃x ∈ A (z ∈ B ∧ y ∈ z))
4	2, 3	bitri 173	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ A ∃z ∈ B y ∈ z ↔ ∃z∃x ∈ A (z ∈ B ∧ y ∈ z))
5		r19.41v 2460	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ A (z ∈ B ∧ y ∈ z) ↔ (∃x ∈ A z ∈ B ∧ y ∈ z))
6	5	exbii 1493	. . . . 5 ⊢ (∃z∃x ∈ A (z ∈ B ∧ y ∈ z) ↔ ∃z(∃x ∈ A z ∈ B ∧ y ∈ z))
7	4, 6	bitri 173	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ A ∃z ∈ B y ∈ z ↔ ∃z(∃x ∈ A z ∈ B ∧ y ∈ z))
8		eluni2 3575	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ∪ B ↔ ∃z ∈ B y ∈ z)
9	8	rexbii 2325	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ A y ∈ ∪ B ↔ ∃x ∈ A ∃z ∈ B y ∈ z)
10		df-rex 2306	. . . . 5 ⊢ (∃z ∈ ∪ x ∈ A By ∈ z ↔ ∃z(z ∈ ∪ x ∈ A B ∧ y ∈ z))
11		eliun 3652	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ ∪ x ∈ A B ↔ ∃x ∈ A z ∈ B)
12	11	anbi1i 431	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ ∪ x ∈ A B ∧ y ∈ z) ↔ (∃x ∈ A z ∈ B ∧ y ∈ z))
13	12	exbii 1493	. . . . 5 ⊢ (∃z(z ∈ ∪ x ∈ A B ∧ y ∈ z) ↔ ∃z(∃x ∈ A z ∈ B ∧ y ∈ z))
14	10, 13	bitri 173	. . . 4 ⊢ (∃z ∈ ∪ x ∈ A By ∈ z ↔ ∃z(∃x ∈ A z ∈ B ∧ y ∈ z))
15	7, 9, 14	3bitr4i 201	. . 3 ⊢ (∃x ∈ A y ∈ ∪ B ↔ ∃z ∈ ∪ x ∈ A By ∈ z)
16		eliun 3652	. . 3 ⊢ (y ∈ ∪ x ∈ A ∪ B ↔ ∃x ∈ A y ∈ ∪ B)
17		eluni2 3575	. . 3 ⊢ (y ∈ ∪ ∪ x ∈ A B ↔ ∃z ∈ ∪ x ∈ A By ∈ z)
18	15, 16, 17	3bitr4i 201	. 2 ⊢ (y ∈ ∪ x ∈ A ∪ B ↔ y ∈ ∪ ∪ x ∈ A B)
19	18	eqriv 2034	1 ⊢ ∪ x ∈ A ∪ B = ∪ ∪ x ∈ A B

Syntax hints:   ∧ wa 97   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301  ∪ cuni 3571  ∪ ciun 3648

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-uni 3572  df-iun 3650

This theorem is referenced by: (None)