Theorem iuncom4 3638

Description: Commutation of union with indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iuncom4	⊢ ∪ x ∈ A ∪ B = ∪ ∪ x ∈ A B

Proof of Theorem iuncom4

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2290	. . . . . . 7 ⊢ (∃z ∈ B y ∈ z ↔ ∃z(z ∈ B ∧ y ∈ z))
2	1	rexbii 2309	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ A ∃z ∈ B y ∈ z ↔ ∃x ∈ A ∃z(z ∈ B ∧ y ∈ z))
3		rexcom4 2554	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ A ∃z(z ∈ B ∧ y ∈ z) ↔ ∃z∃x ∈ A (z ∈ B ∧ y ∈ z))
4	2, 3	bitri 173	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ A ∃z ∈ B y ∈ z ↔ ∃z∃x ∈ A (z ∈ B ∧ y ∈ z))
5		r19.41v 2444	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ A (z ∈ B ∧ y ∈ z) ↔ (∃x ∈ A z ∈ B ∧ y ∈ z))
6	5	exbii 1478	. . . . 5 ⊢ (∃z∃x ∈ A (z ∈ B ∧ y ∈ z) ↔ ∃z(∃x ∈ A z ∈ B ∧ y ∈ z))
7	4, 6	bitri 173	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ A ∃z ∈ B y ∈ z ↔ ∃z(∃x ∈ A z ∈ B ∧ y ∈ z))
8		eluni2 3558	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ∪ B ↔ ∃z ∈ B y ∈ z)
9	8	rexbii 2309	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ A y ∈ ∪ B ↔ ∃x ∈ A ∃z ∈ B y ∈ z)
10		df-rex 2290	. . . . 5 ⊢ (∃z ∈ ∪ x ∈ A By ∈ z ↔ ∃z(z ∈ ∪ x ∈ A B ∧ y ∈ z))
11		eliun 3635	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ ∪ x ∈ A B ↔ ∃x ∈ A z ∈ B)
12	11	anbi1i 434	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ ∪ x ∈ A B ∧ y ∈ z) ↔ (∃x ∈ A z ∈ B ∧ y ∈ z))
13	12	exbii 1478	. . . . 5 ⊢ (∃z(z ∈ ∪ x ∈ A B ∧ y ∈ z) ↔ ∃z(∃x ∈ A z ∈ B ∧ y ∈ z))
14	10, 13	bitri 173	. . . 4 ⊢ (∃z ∈ ∪ x ∈ A By ∈ z ↔ ∃z(∃x ∈ A z ∈ B ∧ y ∈ z))
15	7, 9, 14	3bitr4i 201	. . 3 ⊢ (∃x ∈ A y ∈ ∪ B ↔ ∃z ∈ ∪ x ∈ A By ∈ z)
16		eliun 3635	. . 3 ⊢ (y ∈ ∪ x ∈ A ∪ B ↔ ∃x ∈ A y ∈ ∪ B)
17		eluni2 3558	. . 3 ⊢ (y ∈ ∪ ∪ x ∈ A B ↔ ∃z ∈ ∪ x ∈ A By ∈ z)
18	15, 16, 17	3bitr4i 201	. 2 ⊢ (y ∈ ∪ x ∈ A ∪ B ↔ y ∈ ∪ ∪ x ∈ A B)
19	18	eqriv 2019	1 ⊢ ∪ x ∈ A ∪ B = ∪ ∪ x ∈ A B

Syntax hints:   ∧ wa 97   = wceq 1228  ∃wex 1362   ∈ wcel 1374  ∃wrex 2285  ∪ cuni 3554  ∪ ciun 3631

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-uni 3555  df-iun 3633

This theorem is referenced by: (None)