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Theorem iuncom4 3638
Description: Commutation of union with indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
iuncom4 x A B = x A B

Proof of Theorem iuncom4
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 2290 . . . . . . 7 (z B y zz(z B y z))
21rexbii 2309 . . . . . 6 (x A z B y zx A z(z B y z))
3 rexcom4 2554 . . . . . 6 (x A z(z B y z) ↔ zx A (z B y z))
42, 3bitri 173 . . . . 5 (x A z B y zzx A (z B y z))
5 r19.41v 2444 . . . . . 6 (x A (z B y z) ↔ (x A z B y z))
65exbii 1478 . . . . 5 (zx A (z B y z) ↔ z(x A z B y z))
74, 6bitri 173 . . . 4 (x A z B y zz(x A z B y z))
8 eluni2 3558 . . . . 5 (y Bz B y z)
98rexbii 2309 . . . 4 (x A y Bx A z B y z)
10 df-rex 2290 . . . . 5 (z x A By zz(z x A B y z))
11 eliun 3635 . . . . . . 7 (z x A Bx A z B)
1211anbi1i 434 . . . . . 6 ((z x A B y z) ↔ (x A z B y z))
1312exbii 1478 . . . . 5 (z(z x A B y z) ↔ z(x A z B y z))
1410, 13bitri 173 . . . 4 (z x A By zz(x A z B y z))
157, 9, 143bitr4i 201 . . 3 (x A y Bz x A By z)
16 eliun 3635 . . 3 (y x A Bx A y B)
17 eluni2 3558 . . 3 (y x A Bz x A By z)
1815, 16, 173bitr4i 201 . 2 (y x A By x A B)
1918eqriv 2019 1 x A B = x A B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   = wceq 1228  wex 1362   wcel 1374  wrex 2285   cuni 3554   ciun 3631
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-uni 3555  df-iun 3633
This theorem is referenced by: (None)
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