Theorem invdisj 3759

Description: If there is a function C ( y ) such that C ( y ) = x for all y e. B ( x ), then the sets B ( x ) for distinct x e. A are disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
invdisj	|- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> Disj x e. A B )

Distinct variable groups:   x, y   y, A   y, B   x, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( y)

Proof of Theorem invdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfra2xy 2364	. . 3 |- F/ y A. x e. A A. y e. B C = x
2		df-ral 2311	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x <-> A. x ( x e. A -> A. y e. B C = x ) )
3		rsp 2369	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. B C = x -> ( y e. B -> C = x ) )
4		eqcom 2042	. . . . . . . . 9 |- ( C = x <-> x = C )
5	3, 4	syl6ib 150	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. B C = x -> ( y e. B -> x = C ) )
6	5	imim2i 12	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A -> A. y e. B C = x ) -> ( x e. A -> ( y e. B -> x = C ) ) )
7	6	impd 242	. . . . . 6 |- ( ( x e. A -> A. y e. B C = x ) -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> x = C ) )
8	7	alimi 1344	. . . . 5 |- ( A. x ( x e. A -> A. y e. B C = x ) -> A. x ( ( x e. A /\ y e. B ) -> x = C ) )
9	2, 8	sylbi 114	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> A. x ( ( x e. A /\ y e. B ) -> x = C ) )
10		mo2icl 2720	. . . 4 |- ( A. x ( ( x e. A /\ y e. B ) -> x = C ) -> E* x ( x e. A /\ y e. B ) )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> E* x ( x e. A /\ y e. B ) )
12	1, 11	alrimi 1415	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> A. y E* x ( x e. A /\ y e. B ) )
13		dfdisj2 3747	. 2 |- (Disj x e. A B <-> A. y E* x ( x e. A /\ y e. B ) )
14	12, 13	sylibr 137	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> Disj x e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   E*wmo 1901   A.wral 2306  Disj wdisj 3745

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rmo 2314  df-v 2559  df-disj 3746

This theorem is referenced by: (None)