Theorem f1elima 5412

Description: Membership in the image of a 1-1 map. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
f1elima	|- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> X e. Y ) )

Proof of Theorem f1elima

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1fn 5093	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> F Fn A )
2		fvelimab 5229	. . . 4 |- ( ( F Fn A /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) ) )
3	1, 2	sylan 267	. . 3 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) ) )
4	3	3adant2 923	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) ) )
5		ssel 2939	. . . . . . . 8 |- ( Y C_ A -> ( z e. Y -> z e. A ) )
6	5	impac 363	. . . . . . 7 |- ( ( Y C_ A /\ z e. Y ) -> ( z e. A /\ z e. Y ) )
7		f1fveq 5411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( z e. A /\ X e. A ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) <-> z = X ) )
8	7	ancom2s 500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( X e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) <-> z = X ) )
9	8	biimpd 132	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( X e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> z = X ) )
10	9	anassrs 380	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ z e. A ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> z = X ) )
11		eleq1 2100	. . . . . . . . . 10 |- ( z = X -> ( z e. Y <-> X e. Y ) )
12	11	biimpcd 148	. . . . . . . . 9 |- ( z e. Y -> ( z = X -> X e. Y ) )
13	10, 12	sylan9 389	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ z e. A ) /\ z e. Y ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
14	13	anasss 379	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ ( z e. A /\ z e. Y ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
15	6, 14	sylan2 270	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ ( Y C_ A /\ z e. Y ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
16	15	anassrs 380	. . . . 5 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ Y C_ A ) /\ z e. Y ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
17	16	rexlimdva 2433	. . . 4 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ Y C_ A ) -> ( E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
18	17	3impa 1099	. . 3 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
19		eqid 2040	. . . 4 |- ( F ` X ) = ( F ` X )
20		fveq2 5178	. . . . . 6 |- ( z = X -> ( F ` z ) = ( F ` X ) )
21	20	eqeq1d 2048	. . . . 5 |- ( z = X -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) <-> ( F ` X ) = ( F ` X ) ) )
22	21	rspcev 2656	. . . 4 |- ( ( X e. Y /\ ( F ` X ) = ( F ` X ) ) -> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) )
23	19, 22	mpan2 401	. . 3 |- ( X e. Y -> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) )
24	18, 23	impbid1 130	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) <-> X e. Y ) )
25	4, 24	bitrd 177	1 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> X e. Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   E.wrex 2307   C_ wss 2917   "cima 4348   Fn wfn 4897   -1-1->wf1 4899   ` cfv 4902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fv 4910

This theorem is referenced by:  f1imass  5413