ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1elima Structured version   GIF version

Theorem f1elima 5355
Description: Membership in the image of a 1-1 map. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
f1elima ((𝐹:A1-1B 𝑋 A 𝑌A) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ 𝑋 𝑌))

Proof of Theorem f1elima
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1fn 5036 . . . 4 (𝐹:A1-1B𝐹 Fn A)
2 fvelimab 5172 . . . 4 ((𝐹 Fn A 𝑌A) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ z 𝑌 (𝐹z) = (𝐹𝑋)))
31, 2sylan 267 . . 3 ((𝐹:A1-1B 𝑌A) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ z 𝑌 (𝐹z) = (𝐹𝑋)))
433adant2 922 . 2 ((𝐹:A1-1B 𝑋 A 𝑌A) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ z 𝑌 (𝐹z) = (𝐹𝑋)))
5 ssel 2933 . . . . . . . 8 (𝑌A → (z 𝑌z A))
65impac 363 . . . . . . 7 ((𝑌A z 𝑌) → (z A z 𝑌))
7 f1fveq 5354 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:A1-1B (z A 𝑋 A)) → ((𝐹z) = (𝐹𝑋) ↔ z = 𝑋))
87ancom2s 500 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:A1-1B (𝑋 A z A)) → ((𝐹z) = (𝐹𝑋) ↔ z = 𝑋))
98biimpd 132 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:A1-1B (𝑋 A z A)) → ((𝐹z) = (𝐹𝑋) → z = 𝑋))
109anassrs 380 . . . . . . . . 9 (((𝐹:A1-1B 𝑋 A) z A) → ((𝐹z) = (𝐹𝑋) → z = 𝑋))
11 eleq1 2097 . . . . . . . . . 10 (z = 𝑋 → (z 𝑌𝑋 𝑌))
1211biimpcd 148 . . . . . . . . 9 (z 𝑌 → (z = 𝑋𝑋 𝑌))
1310, 12sylan9 389 . . . . . . . 8 ((((𝐹:A1-1B 𝑋 A) z A) z 𝑌) → ((𝐹z) = (𝐹𝑋) → 𝑋 𝑌))
1413anasss 379 . . . . . . 7 (((𝐹:A1-1B 𝑋 A) (z A z 𝑌)) → ((𝐹z) = (𝐹𝑋) → 𝑋 𝑌))
156, 14sylan2 270 . . . . . 6 (((𝐹:A1-1B 𝑋 A) (𝑌A z 𝑌)) → ((𝐹z) = (𝐹𝑋) → 𝑋 𝑌))
1615anassrs 380 . . . . 5 ((((𝐹:A1-1B 𝑋 A) 𝑌A) z 𝑌) → ((𝐹z) = (𝐹𝑋) → 𝑋 𝑌))
1716rexlimdva 2427 . . . 4 (((𝐹:A1-1B 𝑋 A) 𝑌A) → (z 𝑌 (𝐹z) = (𝐹𝑋) → 𝑋 𝑌))
18173impa 1098 . . 3 ((𝐹:A1-1B 𝑋 A 𝑌A) → (z 𝑌 (𝐹z) = (𝐹𝑋) → 𝑋 𝑌))
19 eqid 2037 . . . 4 (𝐹𝑋) = (𝐹𝑋)
20 fveq2 5121 . . . . . 6 (z = 𝑋 → (𝐹z) = (𝐹𝑋))
2120eqeq1d 2045 . . . . 5 (z = 𝑋 → ((𝐹z) = (𝐹𝑋) ↔ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑋)))
2221rspcev 2650 . . . 4 ((𝑋 𝑌 (𝐹𝑋) = (𝐹𝑋)) → z 𝑌 (𝐹z) = (𝐹𝑋))
2319, 22mpan2 401 . . 3 (𝑋 𝑌z 𝑌 (𝐹z) = (𝐹𝑋))
2418, 23impbid1 130 . 2 ((𝐹:A1-1B 𝑋 A 𝑌A) → (z 𝑌 (𝐹z) = (𝐹𝑋) ↔ 𝑋 𝑌))
254, 24bitrd 177 1 ((𝐹:A1-1B 𝑋 A 𝑌A) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ 𝑋 𝑌))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301  wss 2911  cima 4291   Fn wfn 4840  1-1wf1 4842  cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  f1imass  5356
  Copyright terms: Public domain W3C validator