ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1elima Structured version   GIF version

Theorem f1elima 5337
Description: Membership in the image of a 1-1 map. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
f1elima ((𝐹:A1-1B 𝑋 A 𝑌A) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ 𝑋 𝑌))

Proof of Theorem f1elima
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1fn 5018 . . . 4 (𝐹:A1-1B𝐹 Fn A)
2 fvelimab 5154 . . . 4 ((𝐹 Fn A 𝑌A) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ z 𝑌 (𝐹z) = (𝐹𝑋)))
31, 2sylan 267 . . 3 ((𝐹:A1-1B 𝑌A) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ z 𝑌 (𝐹z) = (𝐹𝑋)))
433adant2 911 . 2 ((𝐹:A1-1B 𝑋 A 𝑌A) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ z 𝑌 (𝐹z) = (𝐹𝑋)))
5 ssel 2916 . . . . . . . 8 (𝑌A → (z 𝑌z A))
65impac 363 . . . . . . 7 ((𝑌A z 𝑌) → (z A z 𝑌))
7 f1fveq 5336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:A1-1B (z A 𝑋 A)) → ((𝐹z) = (𝐹𝑋) ↔ z = 𝑋))
87ancom2s 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:A1-1B (𝑋 A z A)) → ((𝐹z) = (𝐹𝑋) ↔ z = 𝑋))
98biimpd 132 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:A1-1B (𝑋 A z A)) → ((𝐹z) = (𝐹𝑋) → z = 𝑋))
109anassrs 382 . . . . . . . . 9 (((𝐹:A1-1B 𝑋 A) z A) → ((𝐹z) = (𝐹𝑋) → z = 𝑋))
11 eleq1 2082 . . . . . . . . . 10 (z = 𝑋 → (z 𝑌𝑋 𝑌))
1211biimpcd 148 . . . . . . . . 9 (z 𝑌 → (z = 𝑋𝑋 𝑌))
1310, 12sylan9 391 . . . . . . . 8 ((((𝐹:A1-1B 𝑋 A) z A) z 𝑌) → ((𝐹z) = (𝐹𝑋) → 𝑋 𝑌))
1413anasss 381 . . . . . . 7 (((𝐹:A1-1B 𝑋 A) (z A z 𝑌)) → ((𝐹z) = (𝐹𝑋) → 𝑋 𝑌))
156, 14sylan2 270 . . . . . 6 (((𝐹:A1-1B 𝑋 A) (𝑌A z 𝑌)) → ((𝐹z) = (𝐹𝑋) → 𝑋 𝑌))
1615anassrs 382 . . . . 5 ((((𝐹:A1-1B 𝑋 A) 𝑌A) z 𝑌) → ((𝐹z) = (𝐹𝑋) → 𝑋 𝑌))
1716rexlimdva 2411 . . . 4 (((𝐹:A1-1B 𝑋 A) 𝑌A) → (z 𝑌 (𝐹z) = (𝐹𝑋) → 𝑋 𝑌))
18173impa 1085 . . 3 ((𝐹:A1-1B 𝑋 A 𝑌A) → (z 𝑌 (𝐹z) = (𝐹𝑋) → 𝑋 𝑌))
19 eqid 2022 . . . 4 (𝐹𝑋) = (𝐹𝑋)
20 fveq2 5103 . . . . . 6 (z = 𝑋 → (𝐹z) = (𝐹𝑋))
2120eqeq1d 2030 . . . . 5 (z = 𝑋 → ((𝐹z) = (𝐹𝑋) ↔ (𝐹𝑋) = (𝐹𝑋)))
2221rspcev 2633 . . . 4 ((𝑋 𝑌 (𝐹𝑋) = (𝐹𝑋)) → z 𝑌 (𝐹z) = (𝐹𝑋))
2319, 22mpan2 403 . . 3 (𝑋 𝑌z 𝑌 (𝐹z) = (𝐹𝑋))
2418, 23impbid1 130 . 2 ((𝐹:A1-1B 𝑋 A 𝑌A) → (z 𝑌 (𝐹z) = (𝐹𝑋) ↔ 𝑋 𝑌))
254, 24bitrd 177 1 ((𝐹:A1-1B 𝑋 A 𝑌A) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌) ↔ 𝑋 𝑌))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 873   = wceq 1228   wcel 1374  wrex 2285  wss 2894  cima 4275   Fn wfn 4824  1-1wf1 4826  cfv 4829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-sbc 2742  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-br 3739  df-opab 3793  df-id 4004  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fv 4837
This theorem is referenced by:  f1imass  5338
  Copyright terms: Public domain W3C validator