Theorem equs5or 1711

Description: Lemma used in proofs of substitution properties. Like equs5 1710 but, in intuitionistic logic, replacing negation and implication with disjunction makes this a stronger result. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
equs5or	|- ( A. x x = y \/ ( E. x ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) )

Proof of Theorem equs5or

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		a9e 1586	. 2 |- E. z z = y
2		dveeq2or 1697	. . . . . 6 |- ( A. x x = y \/ F/ x z = y )
3		nfnf1 1436	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x F/ x z = y
4	3	nfri 1412	. . . . . . . . . 10 |- ( F/ x z = y -> A. x F/ x z = y )
5		ax11v 1708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( ph -> A. x ( x = z -> ph ) ) )
6		equequ2 1599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = y -> ( x = z <-> x = y ) )
7	6	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F/ x z = y /\ z = y ) -> ( x = z <-> x = y ) )
8		nfr 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F/ x z = y -> ( z = y -> A. x z = y ) )
9	8	imp 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F/ x z = y /\ z = y ) -> A. x z = y )
10		hba1 1433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x z = y -> A. x A. x z = y )
11	6	imbi1d 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = y -> ( ( x = z -> ph ) <-> ( x = y -> ph ) ) )
12	11	sps 1430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x z = y -> ( ( x = z -> ph ) <-> ( x = y -> ph ) ) )
13	10, 12	albidh 1369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x z = y -> ( A. x ( x = z -> ph ) <-> A. x ( x = y -> ph ) ) )
14	9, 13	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F/ x z = y /\ z = y ) -> ( A. x ( x = z -> ph ) <-> A. x ( x = y -> ph ) ) )
15	14	imbi2d 219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F/ x z = y /\ z = y ) -> ( ( ph -> A. x ( x = z -> ph ) ) <-> ( ph -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
16	7, 15	imbi12d 223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F/ x z = y /\ z = y ) -> ( ( x = z -> ( ph -> A. x ( x = z -> ph ) ) ) <-> ( x = y -> ( ph -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) ) )
17	5, 16	mpbii 136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F/ x z = y /\ z = y ) -> ( x = y -> ( ph -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
18	17	ex 108	. . . . . . . . . . 11 |- ( F/ x z = y -> ( z = y -> ( x = y -> ( ph -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) ) )
19	18	imp4a 331	. . . . . . . . . 10 |- ( F/ x z = y -> ( z = y -> ( ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
20	4, 19	alrimih 1358	. . . . . . . . 9 |- ( F/ x z = y -> A. x ( z = y -> ( ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
21		19.21t 1474	. . . . . . . . 9 |- ( F/ x z = y -> ( A. x ( z = y -> ( ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) <-> ( z = y -> A. x ( ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) ) )
22	20, 21	mpbid 135	. . . . . . . 8 |- ( F/ x z = y -> ( z = y -> A. x ( ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
23		hba1 1433	. . . . . . . . 9 |- ( A. x ( x = y -> ph ) -> A. x A. x ( x = y -> ph ) )
24	23	19.23h 1387	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) <-> ( E. x ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) )
25	22, 24	syl6ib 150	. . . . . . 7 |- ( F/ x z = y -> ( z = y -> ( E. x ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
26	25	orim2i 678	. . . . . 6 |- ( ( A. x x = y \/ F/ x z = y ) -> ( A. x x = y \/ ( z = y -> ( E. x ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) ) )
27	2, 26	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( A. x x = y \/ ( z = y -> ( E. x ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
28		pm2.76 721	. . . . 5 |- ( ( A. x x = y \/ ( z = y -> ( E. x ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) ) -> ( ( A. x x = y \/ z = y ) -> ( A. x x = y \/ ( E. x ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) ) )
29	27, 28	ax-mp 7	. . . 4 |- ( ( A. x x = y \/ z = y ) -> ( A. x x = y \/ ( E. x ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
30	29	olcs 655	. . 3 |- ( z = y -> ( A. x x = y \/ ( E. x ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
31	30	exlimiv 1489	. 2 |- ( E. z z = y -> ( A. x x = y \/ ( E. x ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
32	1, 31	ax-mp 7	1 |- ( A. x x = y \/ ( E. x ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   \/ wo 629   A.wal 1241   F/wnf 1349   E.wex 1381

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1350  df-sb 1646

This theorem is referenced by:  sb4or  1714