Theorem equs5or 1708

Description: Lemma used in proofs of substitution properties. Like equs5 1707 but, in intuitionistic logic, replacing negation and implication with disjunction makes this a stronger result. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
equs5or	⊢ (∀x x = y ∨ (∃x(x = y ∧ φ) → ∀x(x = y → φ)))

Proof of Theorem equs5or

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		a9e 1583	. 2 ⊢ ∃z z = y
2		dveeq2or 1694	. . . . . 6 ⊢ (∀x x = y ∨ Ⅎx z = y)
3		nfnf1 1433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℲxℲx z = y
4	3	nfri 1409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Ⅎx z = y → ∀xℲx z = y)
5		ax11v 1705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = z → (φ → ∀x(x = z → φ)))
6		equequ2 1596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (z = y → (x = z ↔ x = y))
7	6	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Ⅎx z = y ∧ z = y) → (x = z ↔ x = y))
8		nfr 1408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Ⅎx z = y → (z = y → ∀x z = y))
9	8	imp 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Ⅎx z = y ∧ z = y) → ∀x z = y)
10		hba1 1430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀x z = y → ∀x∀x z = y)
11	6	imbi1d 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (z = y → ((x = z → φ) ↔ (x = y → φ)))
12	11	sps 1427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀x z = y → ((x = z → φ) ↔ (x = y → φ)))
13	10, 12	albidh 1366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀x z = y → (∀x(x = z → φ) ↔ ∀x(x = y → φ)))
14	9, 13	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Ⅎx z = y ∧ z = y) → (∀x(x = z → φ) ↔ ∀x(x = y → φ)))
15	14	imbi2d 219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Ⅎx z = y ∧ z = y) → ((φ → ∀x(x = z → φ)) ↔ (φ → ∀x(x = y → φ))))
16	7, 15	imbi12d 223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Ⅎx z = y ∧ z = y) → ((x = z → (φ → ∀x(x = z → φ))) ↔ (x = y → (φ → ∀x(x = y → φ)))))
17	5, 16	mpbii 136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Ⅎx z = y ∧ z = y) → (x = y → (φ → ∀x(x = y → φ))))
18	17	ex 108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Ⅎx z = y → (z = y → (x = y → (φ → ∀x(x = y → φ)))))
19	18	imp4a 331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Ⅎx z = y → (z = y → ((x = y ∧ φ) → ∀x(x = y → φ))))
20	4, 19	alrimih 1355	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ⅎx z = y → ∀x(z = y → ((x = y ∧ φ) → ∀x(x = y → φ))))
21		19.21t 1471	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ⅎx z = y → (∀x(z = y → ((x = y ∧ φ) → ∀x(x = y → φ))) ↔ (z = y → ∀x((x = y ∧ φ) → ∀x(x = y → φ)))))
22	20, 21	mpbid 135	. . . . . . . 8 ⊢ (Ⅎx z = y → (z = y → ∀x((x = y ∧ φ) → ∀x(x = y → φ))))
23		hba1 1430	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀x(x = y → φ) → ∀x∀x(x = y → φ))
24	23	19.23h 1384	. . . . . . . 8 ⊢ (∀x((x = y ∧ φ) → ∀x(x = y → φ)) ↔ (∃x(x = y ∧ φ) → ∀x(x = y → φ)))
25	22, 24	syl6ib 150	. . . . . . 7 ⊢ (Ⅎx z = y → (z = y → (∃x(x = y ∧ φ) → ∀x(x = y → φ))))
26	25	orim2i 677	. . . . . 6 ⊢ ((∀x x = y ∨ Ⅎx z = y) → (∀x x = y ∨ (z = y → (∃x(x = y ∧ φ) → ∀x(x = y → φ)))))
27	2, 26	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ (∀x x = y ∨ (z = y → (∃x(x = y ∧ φ) → ∀x(x = y → φ))))
28		pm2.76 720	. . . . 5 ⊢ ((∀x x = y ∨ (z = y → (∃x(x = y ∧ φ) → ∀x(x = y → φ)))) → ((∀x x = y ∨ z = y) → (∀x x = y ∨ (∃x(x = y ∧ φ) → ∀x(x = y → φ)))))
29	27, 28	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ ((∀x x = y ∨ z = y) → (∀x x = y ∨ (∃x(x = y ∧ φ) → ∀x(x = y → φ))))
30	29	olcs 654	. . 3 ⊢ (z = y → (∀x x = y ∨ (∃x(x = y ∧ φ) → ∀x(x = y → φ))))
31	30	exlimiv 1486	. 2 ⊢ (∃z z = y → (∀x x = y ∨ (∃x(x = y ∧ φ) → ∀x(x = y → φ))))
32	1, 31	ax-mp 7	1 ⊢ (∀x x = y ∨ (∃x(x = y ∧ φ) → ∀x(x = y → φ)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628  ∀wal 1240  Ⅎwnf 1346  ∃wex 1378

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1347  df-sb 1643

This theorem is referenced by:  sb4or  1711